Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

9
.2
2
2
2
2
2
21
2
2
2
12121
2
2
η
λ
ηξ
λλ
ξ
λ
η
λ
ξ
λ
η
λ
ξ
λ
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ uuuuu
y
u
Умножим эти вторые производные соответственно на
a, 2b и c и затем их сложим.
Тогда левая часть уравнения ( 2.1 ) примет вид:
,2
2
22
2
2
η
ηξ
ξ
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂ u
C
u
B
u
A
где
.2,)(,2
2
222121
2
11
λλλλλλλλ
cbaCcbaBcbaA ++=+++=++=
Рассмотрим теперь вспомогательное квадратное уравнение
.02
2
=++ abc
λ
λ
Его
корнями являются
.
2
2,1
c
acbb −±−
=
λ
В зависимости от значений дискриминан-
та
acbD −=
2
возможны три случая: если в рассматриваемой области
,0
2
>− acb
то уравнение принадлежит к гиперболическому типу; если
,0
2
=− acb
то уравне-
ние ( 2.1) параболического типа; если
,0
2
<− acb то уравнение принадлежит эл-
липтическому типу.
Следовательно, каноническое уравнение гиперболического типа имеет вид
),',',,,(
2
yx
zzzyxf
yx
z
=
∂∂
∂
( или
,,,,,
2
2
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
Φ=
∂
∂
−
∂
∂
βα
βα
βα
zz
z
zz
где
);
2
,
2
yxyx
+
=
−
=
βα
параболического типа −
);',',,,(
2
2
yx
zzzyxf
y
z
=
∂
∂
эллиптического типа −
)',',,,(
2
2
2
2
yx
zzzyxf
y
z
x
z
=
∂
∂
+
∂
∂
.
В общем случае вводятся новые переменные
).,(),,( y
x
y
x
η
η
ξ
ξ
=
=
),( y
x
ξ
и
),( y
x
η
− дважды непрерывно дифференцируемые функции и
.0
''
''
≠
yx
yx
ηη
ξξ
Дифференциальное уравнение
02
22
=+− dxcdxdybdya
называют уравне-
нием характеристик уравнения
).,,,,(2
2
22
2
2
y
z
x
z
zyxf
y
z
c
yx
z
b
x
z
a
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
Примеры
18. Привести к каноническому виду уравнение
.02
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
z
y
yx
z
xy
x
z
x
                                                   9

    ∂ 2u ⎛ ∂            ∂ ⎞⎛ ∂u          ∂u ⎞       2
                                                 2 ∂ u         ∂ 2u        2
                                                                        2 ∂ u
         = ⎜ λ1   + λ2    ⎟⎜ λ1     + λ2    ⎟ = λ1 2 + 2λ1λ2        + λ2 2 .
    ∂y 2 ⎜⎝ ∂ξ         ∂η ⎟⎠⎜⎝ ∂ξ        ∂η ⎟⎠     ∂ξ         ∂ξ∂η        ∂η
Умножим эти вторые производные соответственно на a, 2b и c и затем их сложим.
                                                   ∂ 2u     ∂ 2u      ∂ 2u
Тогда левая часть уравнения ( 2.1 ) примет вид: A 2 + 2 B         + C 2 , где
                                                   ∂ξ      ∂ξ∂η      ∂η
      A = a + 2bλ1 + cλ1 , B = a + b(λ1 + λ2 ) + cλ1λ2 , C = a + 2bλ2 + cλ22 .
                       2




Рассмотрим теперь вспомогательное квадратное уравнение cλ + 2bλ + a = 0. Его
                                                                               2


                         − b ± b 2 − ac
корнями являются λ1, 2 =                . В зависимости от значений дискриминан-
                               c
                                                                      2
та D = b − ac возможны три случая: если в рассматриваемой области b − ac > 0,
         2

то уравнение принадлежит к гиперболическому типу; если b − ac = 0, то уравне-
                                                            2

                                        2
ние ( 2.1) параболического типа; если b − ac < 0, то уравнение принадлежит эл-
липтическому типу.
     Следовательно, каноническое уравнение гиперболического типа имеет вид
 ∂2z                                         ∂2 z ∂2 z     ⎛             ∂z ∂z ⎞
      = f ( x, y, z , z ' x , z ' y ), ( или     −     = Φ ⎜
                                                           ⎜ α , β , z ,   , ⎟, где
 ∂x∂y                                        ∂α 2 ∂β 2     ⎝             ∂α ∂β ⎟⎠
   x− y         x+ y                                    ∂2z
α=      ,β =              ); параболического типа −           = f ( x, y, z , z ' x , z ' y );
     2            2                                     ∂y 2
                      ∂2 z ∂2 z
эллиптического типа −     +     = f ( x, y , z , z ' x , z ' y ) .
                      ∂x 2 ∂y 2
В общем случае вводятся новые переменные ξ = ξ ( x, y ), η = η ( x, y ). ξ ( x, y ) и
                                                                              ξ x' ξ y'
η ( x, y ) − дважды непрерывно дифференцируемые функции и                                     ≠ 0.
                                                                              η   '
                                                                                  x   η   '
                                                                                          y


                                                   2                      2
       Дифференциальное уравнение a dy − 2b dxdy + c dx = 0 называют уравне-
                              ∂2z     ∂2 z    ∂2 z              ∂z ∂z
нием характеристик уравнения a 2 + 2b      + c 2 = f ( x, y, z , , ).
                              ∂x      ∂x∂y    ∂y                ∂x ∂y

                                             Примеры
                                                                ∂2z         ∂2z      2 ∂ z
                                                                                        2
18. Привести к каноническому виду уравнение x
                                                            2
                                                                     + 2 xy      + y        = 0.
                                                                ∂x 2        ∂x∂y       ∂y 2

Страницы