Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 10 стр.

                                            10

                        2               2   2          2   2   2   2
Решение. Здесь a = x , b = xy, c = y , b − ac = x y − x y = 0; следовательно,
уравнение принадлежит к параболическому типу. Составим уравнение характери-
стик x dy − 2 xydxdy + y dx = 0. В этом случае оба семейства характеристик
       2   2              2   2

совпадают. Рассмотрим уравнение xdy = ydx. Разделим переменные и проинтегри-
                      dy dx                               y
руем это уравнение       =   или ln y − ln x = ln C , т.е. = C. Введем новые пе-
                       y   x                              x
             y
ременные    ξ = , η = y. η выбираем таким образом, чтобы выполнялось условие
             x
∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
   ⋅    −  ⋅    ≠ 0. Вводим новые переменные ξ и η. Тогда данное уравнение
 ∂x ∂y ∂y ∂x
              ∂2z
примет вид         = 0.
              ∂η 2

Ответ. Данное уравнение параболического вида, его каноническая форма
∂2z
     = 0.
∂η 2
                                 ∂ 2u            ∂ 2u        2 ∂ u
                                                                    2
                                                                               ∂u
19. Рассмотрим уравнение              −  2 sin x       − cos   x       − cos x    = 0. Это
                                 ∂x 2            ∂x∂y             ∂y 2         ∂y
                                                    2              2        2
уравнение гиперболического типа, так как b − ac = sin x + cos x = 1. Состав-
ляем уравнение характеристик dy + 2 sin xdxdy − cos xdx = 0 или, дописав в
                                       2                        2      2

                                                              2             2
левой части этого равенства dxdy − dxdy + sin xdx − sin xdx и сгруппиро-
вав, получаем (dy + (1 + sin x )dx )(dy − (1 − sin x) dx ) = 0. Интегрируя уравне-
ния       dy + (1 + sin x)dx = 0         и            dy − (1 − sin x)dx = 0       получим
x + y − cos x = C1 , x − y + cos x = C2 . Вводим новые переменные по формулам
    ξ = x + y − cos x, η = x − y + cos x. Тогда данное уравнение в новых пере-
                                ∂ 2u
менных приводится к виду               = 0. Положив ξ = α + β , η = α − β , приведем
                               ∂ξ∂η
                                       ∂ 2u ∂ 2u
уравнение к каноническому виду:              −       = 0.
                                      ∂α 2 ∂β 2
Ответ. Данное уравнение гиперболического вида, его каноническая форма
  ∂ 2u ∂ 2u
      −     = 0.
  ∂α 2 ∂β 2
20. Привести к каноническому виду уравнения: