Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 12 стр.

                                               12




              Рисунок 1.

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x,u), то будем
предполагать, что длина элемента струны ∪ M 1M 2 равняется ее проекции на ось
ОХ, т.е. ∪ M 1M 2 = x2 − x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точ-
ках струны одинаковое, обозначим его через Т.




               Рисунок 2.

Рассмотрим элемент струны MM '. На концах этого элемента, по касательным к
струне, действует сила T . Пусть касательные образуют с осью ОХ углы ϕ и
ϕ + Δϕ . Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент MM ' будет равна
T sin(ϕ + Δϕ ) − T sin ϕ . Так как угол ϕ мал, то можно положить tgϕ ≈ sin ϕ , и мы
будем иметь
                                                    ⎡ ∂u ( x + Δx, t ) ∂u ( x, t ) ⎤
T sin(ϕ + Δϕ ) − T sin ϕ ≈ Ttg (ϕ + Δϕ ) − Ttgϕ = T ⎢                 −              =
                                                    ⎣        ∂x          ∂x ⎥⎦
   ∂ 2u ( x + θΔx, t )        ∂ 2 u ( x, t )
=T                     Δx ≈ T                Δ x , 0 < θ < 1.
           ∂x 2                   ∂x 2
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к эле-