Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

13
менту, приравнять силе инерции. Пусть
ρ
− линейная плотность струны. Тогда мас-
са элемента струны будет
.
x
Δ
ρ
Ускорение элемента равно .
2
2
t
u
∂
∂
Следовательно, по
принципу Даламбера будем иметь
.
2
2
2
2
x
x
u
T
t
u
x Δ
∂
∂
=
∂
∂
Δ
ρ
Сокращая на
x
Δ
и обозна-
чая
,
2
a
T
=
ρ
получаем уравнение движения
.
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(3.1)
Это и есть волновое уравнение − уравнение колебаний струны. Для полного опреде-
ления движения струны одного уравнения (3.1) недостаточно. Искомая функция
),(
t
x
u должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делает-
ся на концах струны (
x =0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние
струны в начальный момент (
t=0).
4. Продольные колебания стержня.
Рассмотрим однородный стержень длины
l , для изгибания которого надо
приложить усилие. Ограничимся исследованием только таких усилий, при которых
поперечные колебания перемещаясь вдоль оси стержня остаются плоскими и парал-
лельными друг другу. Это допущение оправдано, если поперечные размеры стержня
будут невелики по сравнению с его длиной.
Рисунок 3.
Если стержень несколько растянуть или сжать вдоль продольной оси, а затем пре-
доставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания. Направим ось
ОХ вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы стержня нахо-
дятся в точках
x=0 и x=l. Пусть x- абсцисса некоторого сечения стержня, когда по-
следний находится в покое. Обозначим через
),(
t
x
u
смещение этого сечения в мо-
мент времени
t ; тогда смещенное сечение с абсциссой dx
x
+ будет равно
.dx
x
u
u
∂
∂
+ А относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой x выражает-
ся производной
.
),(
x
txu
∂
∂
Считая, что стержень совершает малые колебания, можно 
                                               13

менту, приравнять силе инерции. Пусть          ρ − линейная плотность струны. Тогда мас-
                                                                 ∂ 2u
са элемента струны будет    ρΔx. Ускорение элемента равно             . Следовательно, по
                                                                 ∂t 2
                                      ∂ 2u ∂ 2u
принципу Даламбера будем иметь ρΔx 2 = T        Δx. Сокращая на Δx и обозна-
                                      ∂t   ∂x 2
    T
чая   = a 2 , получаем уравнение движения
     ρ
                           ∂ 2u        2
                                    2 ∂ u
                                = a        .                              (3.1)
                           ∂t 2       ∂x 2
Это и есть волновое уравнение − уравнение колебаний струны. Для полного опреде-
ления движения струны одного уравнения (3.1) недостаточно. Искомая функция
u ( x, t ) должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делает-
ся на концах струны ( x =0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние
струны в начальный момент (t=0).

                       4. Продольные колебания стержня.

     Рассмотрим однородный стержень длины l , для изгибания которого надо
приложить усилие. Ограничимся исследованием только таких усилий, при которых
поперечные колебания перемещаясь вдоль оси стержня остаются плоскими и парал-
лельными друг другу. Это допущение оправдано, если поперечные размеры стержня
будут невелики по сравнению с его длиной.




                   Рисунок 3.

Если стержень несколько растянуть или сжать вдоль продольной оси, а затем пре-
доставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания. Направим ось
ОХ вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы стержня нахо-
дятся в точках x=0 и x=l. Пусть x- абсцисса некоторого сечения стержня, когда по-
следний находится в покое. Обозначим через u ( x, t ) смещение этого сечения в мо-
мент времени t ; тогда смещенное сечение с абсциссой x + dx будет равно
    ∂u
u+     dx. А относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой x выражает-
    ∂x
                ∂u ( x, t )
ся производной              . Считая, что стержень совершает малые колебания, можно
                  ∂x

Страницы