Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

15
Примеры.
21. Найти решение уравнения
,
2
2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
если
.0,
0
0
=
∂
∂
=
=
=
t
t
t
u
xu
Решение. Так как
a =1, а F(x)=0, то
2
)()( atxfatxf
u
+
+
−
=
, где
2
txtx
u
+
+
−
=
, или окончательно u=x.
Ответ.
u=x.
22. Найти решение уравнения
,
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
если
.,0
3
0
0
x
t
u
u
t
t
=
∂
∂
=
=
=
Решение. Здесь
.)(,0)(
3
xxFxf ==
()
.)(
1
22)22(
8
1
)22)(22(
8
1
)()(
8
1
8
1
2
1
233333222
222222222222
4443
axttxtxaatx
a
axttax
a
taaxtxtaaxtxtaaxtxtaaxtx
a
atxatx
a
z
a
dzz
a
u
atx
atx
atx
atx
+=+=⋅⋅+=
=−+−+++−+++=
=−−+===
+
−
+
−
∫
Ответ.
.
233
a
xt
t
x
u +=
23. Найти форму струны, определяемой уравнением
,
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
в момент
,
π
=
t
если
.,cos
0
0
x
t
u
xu
t
t
=
∂
∂
=
=
=
Решение.
.coscos4
4
1
coscos
22
1
coscos
2
1
2
)cos()cos(
2
xtatxatx
a
atx
z
a
atx
dzz
a
atxatx
u
atx
atx
atx
atx
+=⋅+=⋅+=
=+
−++
=
+
−
+
−
∫
Если
,
π
=
t
то
.coscos
x
x
au
+⋅
=
Ответ.
.coscos
x
x
au
+
⋅
=
6. Решение уравнения колебаний струны методом Фурье.
Решение дифференциального уравнения
,
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
удовлетворяющее началь-
ным условиям
)(),(
0
0
x
t
u
xu
t
t
ψϕ
=
∂
∂
=
=
=
и граничным (краевым) условиям 
                                                            15



                                                         Примеры.
                                             ∂ u ∂ 2u
                                              2
                                                                         ∂u
21. Найти решение уравнения                      =     , если u t=0
                                                                    = x,        = 0.
                                             ∂t 2 ∂x 2                   ∂t t=0
Решение. Так как a =1, а F(x)=0, то
         f ( x − at ) + f ( x + at )                      x−t + x+t
    u=                                   , где u =                  , или окончательно u=x.
                       2                                      2
Ответ. u=x.
                               ∂ 2u          2
                                          2 ∂ u                    ∂u
22. Найти решение уравнения          =  a        , если u t=0
                                                              = 0,        = x3.
                                ∂t 2
                                            ∂x 2
                                                                   ∂t t=0
                                      3
Решение. Здесь f ( x) = 0, F ( x) = x .
          x + at

u=
    1
   2a      ∫   z 3dz =
                          1 4
                         8a
                            z
                                x + at

                                x − at
                                         =
                                              1
                                             8a
                                                  (
                                                ( x + at ) 4 − ( x − at ) 4 =)
          x − at

   1 2
=     ( x + 2axt + a 2t 2 + x 2 − 2axt + a 2t 2 )( x 2 + 2axt + a 2t 2 − x 2 + 2axt − a 2t 2 ) =
  8a
   1                                1
= (2 x 2 + 2a 2t 2 ) ⋅ 2 ⋅ 2axt = ( x 3at + xa 3t 3 ) = x 3t + xt 3a 2 .
  8a                                a
Ответ. u = x t + xt a .
                3      3 2

                                                            ∂ 2u          2
                                                                      2 ∂ u
23. Найти форму струны, определяемой уравнением                  =a           , в момент
                                                            ∂t 2         ∂x 2
                            ∂u
t = π , если u t=0 = cosx,         = x.
                            ∂t t=0
                                                                 x + at
                cos( x + at ) + cos( x − at ) 1
             u=
                              2
                                             +
                                               2a                 ∫ z dz =
                                                                 x − at
Решение.
                                              2 x + at
                           1 z                         1
             = cos x cos at + ⋅        = cos x cos at + ⋅ 4atx = cos x cos at + xt.
                          2a 2 x − at                  4a
Если t = π , то u = cos aπ ⋅ cos x + πx.
Ответ. u = cos aπ ⋅ cos x + πx.
                   6. Решение уравнения колебаний струны методом Фурье.
                                              ∂ 2u        2
                                                       2 ∂ u
Решение дифференциального уравнения                =a         , удовлетворяющее началь-
                                              ∂t 2       ∂x 2
                                ∂u
ным условиям u t = 0 = ϕ ( x ),          = ψ ( x) и граничным (краевым) условиям
                                ∂t t = 0

Страницы