Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 17 стр.

                                                 17

                   Рисунок 4.

2) Граничные условия: u(0,t)=0, u(l,t)=0. Физически они означают, что в точках
x=0 и x= l струна закреплена.
Вычисляя an , получим:

                               2 1 ⎛⎜                                πnx ⎞⎟
         l                            l 2                l
     2               πnx                        πnx
an =
     l   ∫
         0
             f ( x) sin
                        l
                          dx =
                               l 5⎜
                                    ⎝0
                                             ∫
                                          x sin
                                                 l       ∫
                                                    dx + (l − x) sin
                                                        l 2
                                                                      l
                                                                        dx =
                                                                          ⎟
                                                                          ⎠
    4 l2         πn
=     ⋅ 2 2 ⋅ sin .
    5l π n        2
                       4 l           πn
Таким образом, an =     ⋅ 2 2 ⋅ sin       (n = 1,2,....). Заметим, что при четных n
                       5 π n          2
                            πn        2πk
имеем: an = 0, так как sin      = sin       = 0. При нечетных n=2k-1 имеем
                             2          2
    πn        (2k − 1)π
sin     = sin           = (−1) k −1 (k = 1,2,...). Окончательно для коэффициентов
     2            2
                                               4l
an получим формулу: a2 n −1 = (−1) n −1 2                   (n = 1,2,...).
                                         5π (2n − 1) 2
a2 n = 0.

Поскольку в рассматриваемой задаче ψ ( x) = 0, то bn = 0 (n = 1,2,...). Следова-
тельно,
             ∞                                    ∞
                       πan              πnx                                   πan         πnx
             ∑                                   ∑
                                          4l                     1
u ( x, t ) =      an cos     t ⋅ sin   = 2        (−1) n−1              ⋅ cos     t ⋅ sin     .
             n =1
                          l          l  5 π   n=1
                                                           ( 2 n − 1) 2
                                                                               l           l
26. Струна длины l , закрепленная на концах, изогнута так, что она приняла форму
                         πx
синусоиды u = 2 sin         , и отпущена без начальной скорости. Найти закон колеба-
                          l
ния струны.
                            πat         πx
Ответ. u ( x, t ) = 2 cos         sin        .
                             l          l
27. Струна с закрепленными концами x=0 и x =l в начальный момент времени
                                                      5πx
имеет форму, определяемую уравнением u ( x,0) = 2 sin       . Начальные скорости
                                                         l
                                   ∂u ( x,0)         4πx
точек струны определяются формулой           = 3 sin       . Найти смещение u(x,t)
                                      ∂t               l
точек струны.