Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 16 стр.

                                           16

u x = 0 = 0, u x = l = 0, может быть представлено суммой бесконечного ряда


                             ∞
                                ⎛      kπat          kπat ⎞       kπx
               u ( x, t ) = ∑ ⎜ ak cos      + bk sin      ⎟ ⋅ sin     , где
                            k =1⎝        l             l ⎠         l
                      l                                 l
                   2            kπx           2             kπx
              ak =
                   l  ∫
                     ϕ ( x) sin
                      0
                                 l
                                    dx, bk =
                                             kπa       ∫
                                                 ψ ( x) sin
                                                        0
                                                             l
                                                                dx.

Нулевые граничные условия соответствуют колебаниям струны длины l, закреп-
ленной в точках x=0 и x= l.
                                  Примеры.

25. Струна длины l закреплена на концах. В начальный момент времени она оття-
                l                 l
нута в точке x =  на расстояние     , а затем отпущена без толчка. Методом Фурье
                2                10
определить отклонение u(x,t) точек струны в любой момент времени.
Решение. В поставленной задаче мы имеем дело со свободными колебаниями стру-
ны, закрепленной на обоих концах. Ее решение сведется к решению следующей ма-
                                                       ∂ 2u       2
                                                               2 ∂ u
тематической задачи. Требуется найти решение уравнения      =a        (здесь
                                                       ∂t 2      ∂x 2
     T
a 2 = , где Т- натяжение струны, а ρ - плотность струны), удовлетворяющее сле-
     ρ
дующим начальным и граничным условиям:
1) Начальные условия:
                       ⎧x                    l
                       ⎪⎪ 5 , при 0 ≤ x ≤ 2 ,
а) u ( x,0) = ϕ ( x) = ⎨
                        ⎪− 1 ( x − l ), при l ≤ x ≤ l.
                        ⎪⎩ 5                2
   ∂u ( x,0)
б)            = ψ ( x) = 0 (струна была отпущена без толчка, значит, начальная ско-
        ∂t
рость ее точек была равна нулю).