Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 18 стр.

                                                       18

                       3l       4πat       4πx          5πat     5πx
Ответ. u ( x, t ) =        sin        sin       + 2 cos      sin      .
                      4πa          l         l            l        l
                            ∂ 2u         2
                                      2 ∂ u
28. Решить уравнение               =a         + bshx при нулевых начальных и краевых ус-
                            ∂t 2        ∂x 2
ловиях u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0.
Указание. Решение следует искать в виде суммы u ( x, t ) = v ( x) + w( x, t ), где v(x)
                                 2
есть решение уравнения a v ' ' ( x) + bshx = 0, удовлетворяющее краевым условиям
                                                    ∂2w         2
                                                             2 ∂ w
v(0) = v(l ) = 0, а w − решение уравнения 2 = a                      при условиях
                                                     ∂t        ∂x 2
w(0, t ) = 0, w(l , t ) = 0,


                       ∞
           2bπshl                                           nπat     n πx
                      ∑
                                            n
         −                    (−1) n                  cos        sin      .
             a2        n =1
                                       n 2π 2 + l   2
                                                             l         l
                     ∂w( x,0)
w( x,0) = −v( x),             = 0.
                       ∂t
                                                            ∞
                    b ⎛x           ⎞ 2b                           (−1) n     nπat     n πx
Ответ. u ( x, t ) = 2 ⎜ shl − shx ⎟ + 2
                   a ⎝l            ⎠ aπ
                                                        ∑   n=1
                                                                    n
                                                                         cos
                                                                              l
                                                                                  sin
                                                                                        l
                                                                                           −


                         ∂ 2u ∂ 2u
29. Решить уравнение             =    + bx( x − l ) при нулевых начальных и краевых ус-
                          ∂t 2 ∂x 2
ловиях u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0.
                                                          (2n + 1)πt     (2n + 1)πx
                                                  4 ∞ cos            sin
                                                                ∑
                      bx 3                     8l             l              l
Ответ. u ( x, t ) = −    ( x − 2 x 2l + l 3 ) + 5                                   .
                      12                       π n=0            (2n + 1) 5


30. Найти закон колебаний струны, концы которой закреплены в точках x=-l и
x=l , а в начальный момент времени точки струны отклонены по параболе, cиммет-
ричной относительно центра струны, причем максимальное начальное смещение
равно h.
                              ∞
                                      (−1) n       2n + 1          2n + 1
                              ∑
                      32h
Ответ. u ( x, t ) =                            cos        πx ⋅ cos        πat.
                      π3      n=0
                                    (2n + 1) 3
                                                    2l              2l

                           7. Колебания прямоугольной мембраны.