Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 20 стр.

                                                                         20

           mπ            nπ
k1, m =       , k 2, n =                        (m, n = 1,2,3,...). Тогда
            p             q
                                                                        2⎛ m   n2 ⎞
                                                                               2
                                k m2 , n   =   k12,m   +   k 22, n   = π ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟.        (7.13)
                                                                         ⎝p    q ⎠
Таким образом, собственным значениям (7.13) соответствуют собственные функции
                         mπx     nπy
vmn ( x, y ) = sin           sin     граничной задачи (7.6), (7.7).
                          p       q
     Обращаясь теперь к уравнению (7.5), мы видим, что для каждого собственного
          2    2
значения k = k mn его общее решение имеет вид
                         Tmn (t ) = Amn cos ak mn t + Bmn sin ak mn t ,                          (7.14)
где Amn , u Bmn − произвольные постоянные.
     Таким образом, частные решения уравнения (7.1) имеют вид
                                                                                   mπx     nπy
u mn ( x, y, t ) = ( Amn cos ak mnt + Bmn sin ak mnt ) sin                             sin     (m, n = 1,2,...).
                                                                                    p       q
Чтобы удовлетворить начальным условиям составим ряд
                     ∞                                                               mπx     nπy
u ( x, y , t ) =    ∑         ( Amn cos ak mnt + Bmn sin ak mnt ) sin
                                                                                      p
                                                                                         sin
                                                                                              q
                                                                                                 .
                   m , n =1
Если этот ряд равномерно сходится, так же как и ряды, полученные из него дву-
кратным почленным дифференцированием по x,y,t, то сумма его, очевидно, будет
удовлетворять уравнению (7.1) и граничным условиям (7.2). Для выполнения на-
чальных условий необходимо, чтобы
                                  ∞ mπx       nπy
u t = 0 = ϕ 0 ( x, y ) =         ∑    p
                                           Amn sin
                                          sin
                                               q
                         m , n =1
∂u                             ∞           mπx      nπy
           = ϕ1 ( x, y ) = ∑ ak mn Bmn sin      sin     .
∂t t = 0                   m , n =1          p       q
Эти формулы представляют собой разложение заданных функций
ϕ 0 ( x, y ) u ϕ1 ( x, y ) в двойной ряд Фурье по синусам. Коэффициенты разложений
определяются по формулам

                                         4 pq                   mπx     nπy
                               Amn     =    ∫ ∫ φ0 ( x, y ) sin     sin     dxdy,
                                         pq 0 0                  p       q
                                                  4          pq
                                                                         mπx     nπy
                               Bmn =                 ∫ ∫ φ1 ( x, y ) sin     sin     dxdy.
                                            ak mn pq 0 0                  p       q

                                                                     Примеры.