Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 22 стр.

                                                            22

                      ∂u ( x,0)
u ( x,0) = ϕ ( x),              = ψ ( x) (0 ≤ x ≤ l ).                           (8.3)
                         ∂t
Находим сначала нетривиальное решение данного уравнения, удовлетворяющее
краевым условиям, в виде произведения
                 u ( x, t ) = T (t ) X ( x) .           (8.4)

Подставляя (8.4) в уравнение (8.1) получим
                                 d ⎛         dX ⎞
ρ ( x)T " (t ) X ( x) = T ( x)      ⎜ p ( x)    ⎟ − q ( x)T (t ) X ( x) или
                                 dx ⎝        dx ⎠
 d ⎛       dX ⎞
   ⎜ p( x)      ⎟ − q ( x) X ( x)
dx ⎝       dx ⎠                     T " (t )
                                  =          = −λ , где λ − некоторая постоянная. Отсюда
         ρ ( x) X ( x)               T (t )
                      d ⎛         dX ⎞
                         ⎜ p ( x)      ⎟ + (λρ ( x) − q ( x)) X = 0,  (8.5)
                     dx ⎝         dx ⎠
                     T " (t ) + λT (t ) = 0                          (8.6)
Так как T (t ) ≠ 0, то для того чтобы функция (8.4) удовлетворяла краевым условиям
(8.2), необходимо и достаточно выполнение условий:

                        ⎧αX (o) + βX ' (0) = 0,
                        ⎨                                                        (8.7)
                        ⎩γX (l ) + δX ' (l ) = 0.
Таким образом, для определения функции X(x) мы пришли к следующей краевой
задачи для обыкновенного дифференциального уравнения:
       Найти такие значения λ, называемые собственными значениями, при которых
существует нетривиальное решение уравнения (8.5), удовлетворяющее условиям
(8.7), а также найти эти нетривиальные решения, называемые собственными функ-
циями.
       Свойства собственных значений и собственных функций краевой задачи:
1. Существует счетное множество собственных значений λ1 < λ2 < ... < λn < ...,
которым соответствуют собственные функции X 1 ( x), X 2 ( x),...

2. При q ( x ) ≥ 0 и     ( p( x) X            '
                                     n ( x) X n ( x)   )   x =l

                                                           x=0
                                                                  ≤ 0 все собственные значения λn поло-
   жительны.
3. Собственные функции на отрезке [0, l ] образуют ортогональную с весом ρ(x) и
   нормированную систему:
l
                     ⎧0, при m ≠ n,
∫ ρ ( x) X n ( x) X m ( x) =⎨1,
                          при   m  = n.
                                         (8.8)
0                    ⎩
4. (Теорема Стеклова). Всякая функция f (x ) , удовлетворяющая краевым условиям