Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 23 стр.

                                                 23

(8.7) и имеющая непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вто-
рую производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собст-
                                           ∞                     l
венным функциям X n ( x) :        f ( x) = ∑ an X n ( x), an = ∫ ρ ( x) X n ( x) f ( x)dx.
                                          n =1                   0
Далее, для каждого собственного значения              λn решаем уравнение (8.6). Общее ре-
шение уравнения (8.6) при    λ = λn (обозначим его через Tn (t ) ) имеет вид
Tn (t ) = an cos λn t + bn sin λn t , где an и bn − произвольные постоянные.
       Таким образом, мы получили бесчисленное множество решений уравнения
(8.1) вида u n ( x, t ) = Tn (t ) X n ( x ) = ( an cos λn t + bn sin λn t ) X n ( x ).
Чтобы удовлетворить начальным условиям (8.3), составим ряд
               ∞
   u ( x, t ) = ∑ (an cos λn t + bn sin λn t ) X n ( x)                  (8.9)
               n =1
Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него дву-
кратным почленным дифференцированием по x и t, то сумма его будет удовлетво-
рять уравнению (8.1) и краевым условиям (8.2).
      Для выполнения начальных условий (8.3) найдем постоянные an и bn как
коэффициенты разложения функций           ϕ и ψ в обобщенные ряды Фурье по ортонор-
мированной (с весом) системе функций ( X n ).
      Теперь можно сделать некоторые общие замечания относительно области
применения метода разделения переменных.
      В основе применимости метода лежит линейность как самих дифференциаль-
ных уравнений, так и краевых условий. Коэффициенты исходных дифференциаль-
ных уравнений должны быть либо постоянными, либо представляться в виде функ-
ций, каждая из которых содержит лишь одну из переменных. Например, в случае
дифференциального уравнения с двумя независимыми переменными x и t соответ-
ствующее дифференциальное уравнение должно иметь вид
        ∂ 2u          ∂ 2u           ∂u          ∂u
A( x)        + B (t )      + C ( x )    + D (t )    + ( F1 ( x) + F2 (t ))u = 0 или приводиться
        ∂x 2          ∂t 2           ∂x          ∂t
к этому виду. Краевые условия должны быть однородными. Если в исходной задаче
эти условия не однородны, надо привести их к однородным. В случае двумерных
(не считая времени) задач граница рассматриваемой области должна состоять из ко-
ординатных линий (в трехмерном случае − из координатных поверхностей). Таким
образом, если используется декартова система координат, границы области − отрез-
ки прямых, параллельных осям координат (куски плоскостей, параллельных коор-
динатным плоскостям); при использовании полярной системы координат границы
области − дуги окружностей с центрами в полюсе и отрезки лучей, выходящих из
полюса, и т.д.
       Это обстоятельство сильно ограничивает применимость метода. И в задаче
распространения волн в пространстве, и в задачах расчета тепловых режимов, и в