Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 21 стр.

                                                      21

31. Найти закон свободных колебаний квадратной мембраны со стороной l, если в
начальный момент отклонение в каждой точке определялось равенством
                          l     πx πy
u ( x, y , t ) t = 0 =       sin sin . Начальная скорость равна нулю. Вдоль контура
                         100     l  l
мембрана закреплена.
     Решение. В рассматриваемом случае
              l      πx πy
ϕ 0 ( x, y ) =   sin sin , ϕ1 ( x, y ) = 0. Следовательно,
             100       l    l
Bmn    = 0, m = 1,2,.., n = 1,2,...
                                     l l
                                 4          l     πx πy    mπx     nπy
                         Amn   = 2
                                l    ∫∫
                                     0 0
                                           100
                                               sin sin sin
                                                   l  l     l
                                                               sin
                                                                    l
                                                                       dxdy.

В силу ортогональности тригонометрической системы функций только A11 ≠ 0,
а все остальные
                                                  2
                   4 ⎛⎜         πx ⎞
                         l

Amn    = 0. A11 =
                  100l ⎜
                       ⎝0
                                 ∫
                           sin 2 dx ⎟ =
                                 l  ⎟
                                    ⎠
                                            2                       2
   4 ⎛⎜ 1 ⎛          2πx ⎞ ⎟⎞
          l
                                    1 ⎛⎜ l            2πx ⎞⎟
                                                         l
                                                l              l
=
  100l ⎜ 2 ⎝
       ⎝ 0
                 ∫
            ⎜1 − cos     ⎟dx =
                      l ⎠ ⎟ 100l ⎜⎝
                              ⎠
                                         x0 −
                                              2π
                                                  sin        =
                                                       l 0 ⎟⎠ 100
                                                                  .

                                l      aπ 2       πx πy
Следовательно, u ( x, y, t ) =     cos       t sin sin .
                               100       l         l     l
                         8. Метод разделения переменных (общий случай).

        Пусть требуется найти решение уравнения
                         ∂ 2u ∂ ⎛        ∂u
                   ρ ( x) 2 = ⎜ p ( x) ⎞⎟ − q( x)u          (8.1)
                         ∂t     ∂x ⎝     ∂x ⎠
(где ρ(x), p(x), q(x) − достаточно гладкие функции, причем p(x)>0, ρ(x)>0,

q(x)≥0), удовлетворяющие условиям
                  ⎧                   ∂u (0, t )
                  ⎪⎪ α u ( 0, t ) + β             = 0,
                                         ∂x
                   ⎨                                                    (8.2)
                   ⎪γ u (l , t ) + δ ∂u (l , t ) = 0.
                   ⎪⎩                  ∂x


и начальным условиям