Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

19
Рассмотрим малые колебания однородной прямоугольной мембраны со сто-
ронами
p и q, закрепленной по контуру. Эта задача сводится к решению волнового
уравнения
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
a
t
u
(7.1)
при граничных условиях
0,0,0,0
00
=
=
=
=
==== qyypxx
uuuu (7.2)
и начальных условиях
),(),,(
1
0
0
0
yx
t
u
yxu
t
t
ϕϕ
=
∂
∂
=
=
=
. (7.3)
Будем искать частные решения уравнения (7.1) в виде
),,()(),,( y
x
v
t
T
t
y
x
u
=
(7.4)
Подставляя (7.4) в уравнение (7.1), получим
.
)(
)(
2
2
''
k
v
vv
tTa
tT
yyxx
−=
+
=
Отсюда, принимая во внимание граничные условия (7.2), будем иметь
,0)()(
22''
=+ tTkatT (7.5)
и
,0
2
2
2
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
vk
y
v
x
v
(7.6)
.0,0,0,0
00
====
==== qyypxx
vvvv
(7.7)
Найдем собственные значения и собственные функции задачи (7.6), (7.7). Положим
).()(),( yY
x
Xy
x
v = (7.8)
Подставляя (7.8) в уравнение (7.6), получим
,
"
''
2
X
X
k
Y
Y
−=+
откуда получаем два уравнения
,0)()(",0)()("
2
2
2
1
=+=+ yYkyYxXkxX
(7.9)
где
.
2
2
2
1
2
kkk += (7.10)
Общие решения уравнений (7.9) имеют следующий вид:
.sincos)(;sincos)(
24231211
ykCykCyYxkCxkCxX
+
=
+
=
(7.11)
Из граничных условий получаем
,0)(,0)0(,0)(,0)0(
=
=
=
= q
Y
Y
XX
откуда ясно, что
,0
31
== CC
и, ес-
ли мы положим
,1
42
=
=
CC
то окажется
,sin)(,sin)(
21
ykyYxkxX =
=
причем должно быть
.0sin,0sin
21
=
= qkpk (7.12)
Из уравнений (7.12) вытекает, что
21
kuk
имеют бесчисленное множество значений 
                                                        19

     Рассмотрим малые колебания однородной прямоугольной мембраны со сто-
ронами p и q, закрепленной по контуру. Эта задача сводится к решению волнового
                      ∂ 2u    2⎛ ∂ u ∂ 2u ⎞
                                  2
уравнения                  = a ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟                               (7.1)
                      ∂t 2     ⎝ ∂x  ∂y ⎠
при граничных условиях
u x = 0 = 0, u x = p = 0, u y = 0 = 0, u y = q = 0                       (7.2)
и начальных условиях
                           ∂u
u t = 0 = ϕ 0 ( x, y ),             = ϕ1 ( x , y ) .                     (7.3)
                           ∂t t = 0
Будем искать частные решения уравнения (7.1) в виде
                             u ( x, y, t ) = T (t )v( x, y ),            (7.4)
Подставляя (7.4) в уравнение (7.1), получим
                                        T '' (t ) v xx + v yy
                                         2
                                                 =            = −k 2 .
                                        a T (t )       v
Отсюда, принимая во внимание граничные условия (7.2), будем иметь
                   T '' (t ) + a 2 k 2T (t ) = 0,       (7.5)
                               ∂ 2v ∂ 2v
                             и      + 2 + k 2 v = 0,                     (7.6)
                               ∂x 2
                                      ∂y
v x = 0 = 0, v x = p      = 0, v y = 0 = 0, v y = q = 0.                 (7.7)
Найдем собственные значения и собственные функции задачи (7.6), (7.7). Положим
                          v( x, y ) = X ( x)Y ( y ).  (7.8)
Подставляя (7.8) в уравнение (7.6), получим
Y"       2       X ''
    +k =−             , откуда получаем два уравнения
 Y               X
 X " ( x) + k12 X ( x) = 0, Y " ( y ) + k 22Y ( y ) = 0,                  (7.9)
где      k 2 = k12 + k 22 .                                               (7.10)
Общие решения уравнений (7.9) имеют следующий вид:
X ( x) = C1 cos k1 x + C2 sin k1 x; Y ( y ) = C3 cos k 2 y + C4 sin k 2 y.         (7.11)
Из граничных условий получаем
X (0) = 0, X ( p ) = 0, Y (0) = 0, Y (q ) = 0, откуда ясно, что C1 = C3 = 0, и, ес-
ли мы положим C2 = C4 = 1, то окажется X ( x) = sin k1 x, Y ( y ) = sin k 2 y,
причем должно быть
                    sin k1 p = 0, sin k 2 q = 0.           (7.12)
Из уравнений (7.12) вытекает, что k1 u k 2 имеют бесчисленное множество значений

Страницы