Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 24 стр.

                                            24

теории потенциала приходится при использовании метода разделения переменных
ограничиваться лишь самыми простыми конфигурациями исследуемых областей.

                9. Вывод уравнения теплопроводности для стержня.

      Рассмотрим однородный теплоизолированный с боков стержень конечной
длины l, имеющий постоянную по длине толщину, и настолько тонкий, чтобы в лю-
бой момент времени температуру тела во всех точках поперечного сечения можно
было бы считать одинаковой.
      Выберем ось x (направив ее по оси стержня) так, чтобы стержень совпадал с
отрезком [0;l] оси x.


   o                                    x
            x        x + Δx

                Рисунок 5.

Обозначим температуру стержня в сечении x в момент t через u(x,t). Тогда функ-
ция u=u(x,t) дает закон распределения температуры в стержне. Выведем диффе-
ренциальное уравнение для этой функции.
     Выделим элемент стержня [x,x+Δx] и составим для него уравнение теплового
баланса, согласно которому скорость изменения количества тепла в рассматривае-
мом объеме (изменение количества тепла в единицу времени), обусловленная тепло-
емкостью материала, равна количеству тепла, поступившему в этот объем в единицу
времени вследствие теплопроводности.
     Скорость изменения тепла в выделенном элементе стержня равна
x + Δx
         ∂u ( x, t )
  ∫ c ρ s ∂ t dx ,            где с − теплоемкость материала стержня;   ρ − плотность;
  x
s − площадь поперечного сечения. Применяя к этому интегралу теорему о среднем,
          x + Δx
                   ∂u ( x, t )     ∂u ( x + θ1Δx, t )
получим      ∫ cρ s ∂t dx = cρ s           ∂t
                                                      Δx, где 0 < θ1 < 1.
             x
Теперь найдем количества тепла, поступившее в выделенный элемент стержня за
единицу времени. Так как стержень теплоизолирован с боков, то тепло может по-
ступать только через сечения, ограничивающие выделенный элемент стержня. Из-
вестно, что количество тепла, протекающее через сечение с абсциссой x за единицу
                     ∂u ( x, t )
времени, равно − k               s , где k − коэффициент теплопроводности, а s − пло-
                       ∂x
щадь сечения.
     Поэтому искомое количество тепла равно