Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

26
Рассмотрим следующую задачу: найти в цилиндре
T
Q решение уравнения те-
плопроводности
,
2
2
2
2
2
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
z
u
y
u
x
u
a
t
u
(10.1)
удовлетворяющее начальному условию
),,(
0
zyxu
t
ϕ
=
=
(10.2)
и граничному условию
[]
),,0(),( TttPu
s
∈
=
ψ
(10.3)
где S− граница области Ω,
Р − точка поверхности S. Функции
ϕ
и
ψ
непрерывны,
причем значения
ψ
при t=0 совпадают со значениями
ϕ
на границе S.
Задача нахождения решения уравнения (10.1) при условиях (10.2), (10.3) назы-
вается первой краевой задачей для уравнения теплопроводности.
Теорема. Функция
u(x,y,z,t), удовлетворяющая однородному уравнению теп-
лопроводности (10.1) внутри цилиндра
T
Q
и непрерывная вплоть до его границы,
принимает наибольшее и наименьшее значения на
Г, т.е. или при t=0, или на боко-
вой поверхности цилиндра
T
Q
.
Из этой теоремы непосредственно вытекает, что:
1) Решение первой краевой задачи (10.1)-(10.3) единственно.
2) Решение первой краевой задачи (10.1)-(10.3) непрерывно зависит от правых час-
тей начального и граничного условий.
3) Если функция
и, непрерывная на замыкании
T
Q и удовлетворяющая первой
краевой задаче (10.1)-(10.3), равна нулю на
Г, то она тождественно равна нулю в
замыкании
T
Q .
11. Интегрирование уравнения распространения тепла в ограниченном
стержне методом Фурье.
Задача о распространении тепла в теплоизолированном с боков стержне дли-
ны
l приводится к нахождению решения уравнения
2
2
2
x
u
a
u
∂
∂
=
∂
∂
(11.1)
в области
0
≤
x
≤
l, 0
≤
t <+
∞
, удовлетворяющего начальному условию
)0()()0,(
x
x
f
x
u
≤
≤
= (11.2)
и граничным условиям
).0(
)(),(
),(),0(
2
1
+∞<≤
⎭
⎬
⎫
=
=
t
ttlu
ttu
ϕ
ϕ
Ограничимся рассмотрением случая, когда на концах стержня поддерживается по-
стоянная температура, т.е. когда граничные условия имеют вид: 
                                                26

     Рассмотрим следующую задачу: найти в цилиндре QT решение уравнения те-
плопроводности
∂u       ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
   = a 2 ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟,                                    (10.1)
∂t       ⎝ ∂x   ∂y   ∂z ⎠
удовлетворяющее начальному условию
               u t = 0 = ϕ ( x, y , z )                      (10.2)
и граничному условию
              u s = ψ ( P, t ) (t ∈ [0, T ]),                (10.3)
где S− граница области Ω, Р − точка поверхности S. Функцииϕ и ψ непрерывны,
причем значения ψ при t=0 совпадают со значениями ϕ на границе S.
      Задача нахождения решения уравнения (10.1) при условиях (10.2), (10.3) назы-
вается первой краевой задачей для уравнения теплопроводности.
      Теорема. Функция u(x,y,z,t), удовлетворяющая однородному уравнению теп-
лопроводности (10.1) внутри цилиндра QT и непрерывная вплоть до его границы,
принимает наибольшее и наименьшее значения на Г, т.е. или при t=0, или на боко-
вой поверхности цилиндра QT .
      Из этой теоремы непосредственно вытекает, что:
1) Решение первой краевой задачи (10.1)-(10.3) единственно.
2) Решение первой краевой задачи (10.1)-(10.3) непрерывно зависит от правых час-
   тей начального и граничного условий.
3) Если функция и, непрерывная на замыкании QT и удовлетворяющая первой
   краевой задаче (10.1)-(10.3), равна нулю на Г, то она тождественно равна нулю в
   замыкании QT .

     11. Интегрирование уравнения распространения тепла в ограниченном
                         стержне методом Фурье.

      Задача о распространении тепла в теплоизолированном с боков стержне дли-
ны l приводится к нахождению решения уравнения
                                   2
                    ∂u       2 ∂ u
                         =a                                      (11.1)
                    ∂t          ∂x 2
в области 0≤ x ≤ l, 0≤ t <+∞, удовлетворяющего начальному условию
                    u ( x,0) = f ( x) (0 ≤ x ≤ l )               (11.2)
                           u (0, t ) = ϕ1 (t ),⎫
и граничным условиям                             ⎬ (0 ≤ t < +∞).
                           u (l , t ) = ϕ 2 (t ) ⎭
Ограничимся рассмотрением случая, когда на концах стержня поддерживается по-
стоянная температура, т.е. когда граничные условия имеют вид:

Страницы