Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 28 стр.

                                                                28

            kπ
X k = sin      x       (k = 1,2,...).              Заменяя в уравнении (11.7)       λ на λk , получаем
             l
                                                                                                    2
                              2                                                             ⎛ akπ ⎞
                                                                                           −⎜
               ⎛ akπ ⎞                                                                            ⎟ t
                     ⎟ Tk = 0. Его общим решением будет Tk = ck e
                                                                                            ⎝ l ⎠
              '
уравнение Tk + ⎜                                                          , где
               ⎝  l  ⎠
ck − произвольная постоянная, соответствующая взятому значению k .
      Подставляя найденные значения X = X k u T = Tk в (11.5), получим решение
уравнения (11.1) в виде
                                                    2
                                          ⎛ akπ ⎞
                                         −⎜     ⎟ t             kπ
                  u k ( x , t ) = ck e    ⎝ l ⎠
                                                        ⋅ sin      x (k = 1,2,..)        (11.8)
                                                                 l
Каждая из функций (11.8) удовлетворяет граничным условиям. Можно показать, что
функция
                                                          2
                                                   ⎛ akπ ⎞
                                    ∞             −⎜     ⎟ t            kπ
                    u ( x, t ) = ∑ ck e            ⎝ l ⎠
                                                                ⋅ sin      x              (11.9)
                                   k =1                                  l
тоже является решением уравнения (11.1), удовлетворяющим граничным условиям.
      Выберем теперь коэффициенты Ck таким образом, чтобы функция (11.9)
удовлетворяла и начальному условию (11.2). Полагая в (11.9) t=0, получим
                                             ∞                kπ
                               f ( x ) = ∑ ck sin                x                       (11.10)
                                            k =1               l
Предположим, что функция f(x) разложима в равномерно и абсолютно сходящийся
ряд Фурье по синусам
                                            ∞             kπ
                              f ( x) = ∑ bk sin              x                            (11.11)
                                           k =1            l
              2l           kπ
Тогда bk = ∫ f ( x ) sin       xdx. Сравнивая (11.10), (11.11), видим, что
               l0           l
                   2l             kπ
ck = bk , т.е. ck = ∫ f ( x) sin      xdx, чем и завершается решение задачи.
                   l0              l
                                                                            2
                                                                  ∂u     2 ∂ u
      Пример1. Найти решение уравнения теплопроводности               =a
                                                                   ∂t      ∂x 2
при граничных условиях u (0; t ) = 0, u (l ; t ) = 0 и начальном условии
                                         ⎧                    l
                                             x , если 0 ≤ x <
                                         ⎪⎪                   2
                              u ( x;0) = ⎨
                                          ⎪l − x, если l ≤ x ≤ l.
                                          ⎪⎩              2
      Решение. Решение определяется формулой