Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

29
∑
∞
=
⋅=
−
1
,sin);(
2
222
n
n
l
nx
ectxu
l
tna
π
π
где
n
c
вычисляется по формулам
.sin)(sin
2
2
2
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
∫∫
l
l
l
n
dx
l
nx
xldx
l
nx
x
l
c
ππ
Вычисляя интегралы, получим:
.
2
sin
2
cos
2
sin)(
,
2
sin
2
cos
2
sin
2
22
2
22
22
2
0
n
n
ln
n
l
dx
l
nx
xl
n
n
ln
n
l
dx
l
nx
x
l
l
l
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
+=−
+−=
∫
∫
Складывая вычисленные интегралы, найдем, что
.
2
sin
4
22
n
n
l
c
n
π
π
=
Так как
,0sin =n
π
то и
.0
2
=
n
c
Далее имеем
.
)12(
)1(4
2
1
2
12
−
−
=
−
+
n
l
c
n
n
π
Решение задачи запишется так:
x
l
n
e
n
l
txu
t
l
na
n
n
)12(
sin
)12(
1
)1(
4
),(
2
222
)12(
2
1
1
2
−
−
−=
−
−
∞
=
−
∑
π
π
π
.
32. Дан тонкий однородный стержень длины
l, на концах которого поддерживается
постоянная температура, равная нулю. Начальная температура стержня определяет-
ся уравнением
.
3
sin2sin3)0,(
l
x
l
x
xu
π
π
−=
Определить температуру стержня при
.0>
t
Ответ.
.
3
sin2sin3),(
2
22
2
22
9
l
x
e
l
x
etxu
l
ta
l
ta
ππ
ππ
−−
−=
33. Концы стержня длиной
l=100 см поддерживаются при температуре, равной ну-
лю. Определить температуру
),(
t
x
u
в точках стержня для любого момента времени
t, если известно начальное распределение температуры 
                                                                                 29

                                               a 2π 2n 2t
                                                                    πnx
                              ∞            −
                                                   l2
         u ( x; t ) = ∑ cn e                                ⋅ sin               , где cn           вычисляется по формулам
                            n =1                                        l
               ⎛l                                 ⎞
               ⎜2
                                             πnx ⎟⎟
                                l
              2⎜        πnx
         cn =
              l⎜
                  x sin
                        ∫l
                            dx + (l − x) sin
                                              l
                                                dx .
                                                  ⎟         ∫
               ⎜0               l                 ⎟
               ⎝                2                 ⎠
         Вычисляя интегралы, получим:
l
2
          πnx       l2    πn  l2    πn
∫
0
    x sin
          l
            dx = −
                   2πn
                       cos + 2 2 sin ,
                           2 π n     2
l
                    πnx l2    πn l 2  πn
∫
l
    (l − x) sin
                l
                  dx =
                       2πn
                           cos + 2 sin .
                               2 πn    2
2
                                                                                                                          πn
                                                                                                                  sin
                                                                                                           4l                 2 . Так как
Складывая вычисленные интегралы, найдем, что cn =
                                                                                                          π   2
                                                                                                                      n   2
                                                                                                           n −1
                                                                                          4l (−1)
sin πn = 0, то и c2 n = 0. Далее имеем c2 n +1 =                                                         .
                                                                                          π 2 (2n − 1) 2
Решение задачи запишется так:
                       ∞                                                π 2 a 2 ( 2 n −1) 2
                                                                    −                                    π (2n − 1)
                       ∑
               4l                                  1                                           t
u ( x, t ) =                  (−1) n −1                    e                     l2                sin                         x.
               π   2
                       n =1
                                                (2n − 1) 2                                                        l
32. Дан тонкий однородный стержень длины l, на концах которого поддерживается
постоянная температура, равная нулю. Начальная температура стержня определяет-
                                                        πx                    3πx
ся уравнением u ( x,0) = 3 sin                                  − 2 sin           . Определить температуру стержня при
                                                            l                  l
t > 0.
                                       π 2 a 2t                             9π 2 a 2 t
                                   −
                                         l2             πx              −
                                                                               l2              3πx
Ответ. u ( x, t ) = 3e                            sin           − 2e                     sin       .
                                                            l                                   l
33. Концы стержня длиной l=100 см поддерживаются при температуре, равной ну-
лю. Определить температуру u ( x, t ) в точках стержня для любого момента времени
t, если известно начальное распределение температуры

Страницы