Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 31 стр.

                                                         31

38. Найти закон распределения температуры внутри стержня длины l, лежащего на
отрезке [0,l], если в начальный момент температура внутри стержня была распреде-
лена следующим образом:
                                                 ⎧x                          l
                                                 ⎪⎪ l u0 , при 0 ≤ x ≤ 2 ;
                             f ( x) = u t = 0   =⎨
                                                  ⎪ l − x u0 , при l < x ≤ l ,
                                                  ⎪⎩ l             2
где u0 = const. На концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплооб-
мен свободный.
                                 ∞                 a 2 n 2π 2 t
                                   (−1) n −1 −
                                             (2n − 1)πx
                             ∑
                      4u0
Ответ. u ( x, t ) =                            e        . (при 0≤ x ≤ l, t ≥ 0 ).
                                                       l2          sin
                 π2          n =1
                                  ( 2 n − 1) 2
                                                 l
39. Найти закон распределения температуры внутри стержня длины l, если в на-
                                                                        o
чальный момент температура внутри стержня во всех точках равнялась 0 , в левом
конце поддерживается все время постоянная температура u1 , а в правом − постоян-
ная температура u 2 . Теплообмен свободный.
                                                                a 2 n 2π 2 t
                      ∞      2                              −                        nπx                   x
Ответ. u ( x, t ) =   ∑ nπ (−u1 + (−1) n u2 )e                      l2         sin
                                                                                      l
                                                                                         + u1 + (u 2 − u1 ) .
                                                                                                           l
                      n =1
                             12. Охлаждение бесконечного стержня.

     Пусть температура тонкого теплопроводного стержня бесконечной длины в
начальный момент была распределена по закону: u t = 0 = f ( x) . (12.1)
Определим температуру в каждой точке стержня в любой последующий момент
времени t>0.
Ясно, что это частный случай задачи Коши, которая сводится к определению функ-
ции u ( x, τ ) , удовлетворяющей уравнению
                                         ∂u ∂ 2u
                                           =                                          (12.2)
                                         ∂τ ∂x 2
             k
( где τ =      t ) и начальному условию (12.1).
            cρ
       С физической точки зрения эта задача аналогична рассмотренной в предыду-
щем параграфе с тем отличием, что здесь нет граничных условий. Ясно поэтому,
что, разделяя переменные по методу Фурье можно представить решение уравнения
(12.1) в виде
                                                                                 2
                       u ( x, τ ) = ( A cos λx + B sin λx)e − λ τ .                                (12.3)