Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 32 стр.

                                                         32

В случае стержня конечной длины l мы определяли из граничных условий дискрет-
                                                                                π
ное множество возможных значений параметра                            λ : λn = n , где каждому значе-
                                                    l
нию индекса п соответствуют некоторые коэффициенты An u Bn . Чем длиннее
стержень, тем гуще множество значений                    λn (расстояние между λn и λn +1 равно
π
    и стремится к нулю, когда l → ∞ ). Поэтому для бесконечного стержня λ может
l
иметь любое значение от 0 до ∞.
     Таким образом, каждому значению λ соответствует частное решение:
                                                                            2
                 uλ ( x,τ ) = ( A(λ ) cos λx + B (λ ) sin λx)e − λ τ .
                                                               (12.4)
Общее решение получается из частных решений не суммированием, а интегрирова-
нием по параметру λ :
                              ∞          ∞                                        2
          uλ ( x,τ ) = ∫ uλ dλ = ∫ ( A(λ ) cos λx + B(λ ) sin λx)e − λ τ dλ                (12.5)
                              0           0
Отсюда видно, что задача свелась к разложению произвольной функции в интеграл
Фурье, являющийся обобщением понятия ряда Фурье.
     В теории интеграла Фурье доказывается, что любая непрерывная функция
                                               ∞
f(x), удовлетворяющая условию                  ∫    f ( x) dx < ∞ , может быть представлена в виде
                                               −∞
интеграла Фурье
                              ∞
                 f ( x) = ∫ ( f c (λ ) cos λx + f s (λ ) sin λx)dλ ,                        (12.6)
                              0
                     +∞                                          +∞
                 1                                           1
где f c (λ ) =            f ( x) cos λxdx,      f s (λ ) =
                                            f ( x) sin λxdx.
                 π −∫∞                π −∫∞
                                                                   (12.7)

Подставляя значения Фурье-преобразований f c (λ ) u f s (λ ) в интеграл (12.6),
получим:
                          1∞              +∞                               +∞
           f ( x) =
                          π   ∫ (cos λx ∫ f (ξ ) cos λξdξ + sin λx ∫ f (ξ ) sin λξdξ )dλ ,
                              0           −∞                               −∞
                      ∞       +∞
                  1
или f ( x ) =        dλ f (ξ )(cos λx cos λξ + sin λx sin λξ )dξ .
                 π ∫0 −∫∞
Учитывая, что выражение в скобках есть косинус разности, приходим к иному вы-
ражению для интеграла Фурье:
                                  1∞     ∞
                  f ( x) =            dλ f (ξ ) cos λ (ξ − x)dξ .
                                  π ∫0 −∫∞
                                                                                       (12.8)