Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 30 стр.

                                                                           30

                                               ⎧1
                                               ⎪⎪ 5 x, если 0 ≤ x ≤ 25,
                                    u ( x,0) = ⎨
                                                ⎪100 − x , если 25 < x ≤ 100.
                                                ⎪⎩ 15 15
                                                                   a 2 n 2t
                160     1     nπ    ∞      πnx                 −

                   2 ∑ 2
                                     2
Ответ. u ( x, t ) =       sin    e l sin         .
                3π n =1 n      4             l
34. Концы стержня длиной l поддерживаются при температуре, равной нулю. На-
                                                           πx         3πx
чальная температура определяется формулой u ( x,0) = 5 sin    − 2 sin     . Опреде-
                                                            l          l
лить температуру стержня для любого момента времени.
                                a 2π 2 t                             9 a 2π 2 t
                            −
                                        2         πx             −
                                                                        l2              3πx
Ответ. u ( x, t ) = 5e              l
                                            sin           − 2e                    sin       .
                                                  l                                      l
35. Найти распределение температуры в стержне длиной l, если на концах его под-
держивается температура, равная нулю, а начальная температура равна единице
вдоль всего стержня.
                                ∞                      ( 2 n +1) 2 π 2 a 2 t
                                                 −                                    2n + 1
                            ∑
                        4                 1
Ответ. u ( x, t ) =                            e               l2               sin          πx.
                      π     n =1
                                        2n − 1                                          l
                                    ∂u ∂ 2u
36. Найти решение уравнения            =     , удовлетворяющее граничным условиям
                                    ∂t ∂x 2
u (0, t ) = u (π , t ) = 0 и начальному условию u ( x,0) = 3 sin 2 x.
                          −4 t
Ответ. u ( x, t ) = 3e sin 2 x.

37. Конец стержня x = 0 имеет температуру u (0, t ) = 0, а на конце x=l поддержи-
вается температура u (l , t ) = 100 . Вычислить распределение температуры u ( x, t ) в
                                                      o

точках стержня для любого момента времени t, если известно распределение ее в
начальный момент
                                                   ⎧ 200                      l
                                                   ⎪⎪ l   x ,  если  0 ≤ x ≤    ,
                                                                              2
                                        u ( x,0) = ⎨
                                                    ⎪100,           l
                                                    ⎪⎩        если     < x ≤ l.
                                                                    2
Указание. Эту задачу целесообразно свести к задаче с нулевыми граничными усло-
виями.
                                                                   a 2 n 2t
                        100x 400                          ∞    −
                                                                                      (2n − 1)πx
Ответ.   u ( x, t ) =       + 2 ∑e                                    l2
                                                                                sin              .
                          l  π n =1                                                       l