Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 33 стр.

                                                                      33

Таким образом, если в качестве коэффициентов A(λ ) u B (λ ) в (12.5) выбрать соот-
ветственно A(λ ) = f c (λ ), B(λ ) = f s (λ ), то интеграл
                                  1∞                                                                 2
                   u ( x, τ ) =       ( f (λ ) cos λx +               f s (λ ) sin λx)e − λ τ dλ
                                  π ∫0 c
                                                                                                          (12.9)

является решением рассматриваемой задачи.
      Другая, эквивалентная форма этого решения, получается из (12.8):
               1∞        2
                      −λ τ
                                  +∞
u ( x, τ ) =       ∫ e dλ             ∫ f (ξ ) cos λ (ξ − x)dξ . Преобразуем последний интеграл ме-
               π   0              −∞
няя порядок интегрирования:
                                       ∞                 +∞
                                  1                               2
               u ( x, τ ) =                f (ξ )dξ           e − λ τ cos λ (ξ − x)dλ.
                              π −∫∞                      ∫                                               (12.10)
                                                         0
Обозначив q := ξ − x, можно внутренний интеграл свести к известному в математи-
ке определенному интегралу :
                                                                                            q2
                                  1∞       −τλ   2                         1            −
                   K (τ , q) =                       cos λqdλ =
                                  π ∫0
                                       e                                            e       4τ   .       (12.11)
                                                                       2 πτ
Заменяя обратно q через ξ − x и подставляя (12.11) в (12.10), получим окончатель-
но:
                                                             +∞                (ξ − x ) 2
                                                     1                     −
                             u ( x, τ ) =
                                              2 πτ            ∫ f (ξ )e
                                                             −∞
                                                                                  4τ d      ξ.           (12.12)

Чтобы понять физический смысл полученного решения, допустим, что в начальный
момент времени(τ = 0 ) температура бесконечного стержня была равна нулю всюду,
кроме окрестности точки x=0, где u = u0 .




      Рисунок 6.

Можно себе представить, что в момент τ = 0 элементу длины 2h стержня сообщили
некоторое количество тепла Q0 = 2hcρu0 , которое вызвало повышение