Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 35 стр.

                                                                 35

 13. Задача о равновесии электрических зарядов на поверхности проводника.

     Рассмотрим стационарное электростатическое поле, созданное в пространстве
некоторой системой электрических зарядов. Если заряды q1 , q2 ,..., qn расположены
дискретно         в      точках            ξ1 , ξ 2 ,.., ξ n ,         то   потенциал   поля     в   точке
                             n
                        qi
x = ( x1 , x2 , x3 ) u =
                         r
                    i =1 i
                            ∑
                           , где ri = ξ i − x − расстояние от заряда qi до точки x.

Если же заряды непрерывно распределены на некоторой линии L , или поверхности
S, или в объеме V, то потенциал поля соответственно выражается одним из инте-
                  γ1                  γ2                          γ3
гралов: u =   ∫r
              L
                       dl , u =   ∫∫ r
                                  S
                                            ds, u =       ∫∫∫ r dv, где r− расстояние от элемента ли-
                                                           V
нии (поверхности, объема) до точки поля, обладающей потенциалом и. В этих фор-
мулах величины γ 1 , γ 2 , γ 3 обозначают линейную, поверхностную или объемную
                              Δq dq
плотность зарядов:        γ 1 = lim
                                  = ,
                       Δl → 0 Δl    dl
             Δq dq                Δq dq
γ 2 = lim       = , γ 3 = lim        = , где Δq − заряд элемента линии L (по-
      Δs → 0 Δs  ds        Δv → 0 Δv   dv
верхности S, объема V). В общем случае потенциал поля равен сумме потенциалов,
созданных каждым из этих видов распределения зарядов в отдельности.
      Допустим, что конечная область V пространства занята проводящей средой −
проводником, т.е. средой, в которой заряды могут свободно передвигаться, а ос-
тальная часть пространства − диэлектриком, т.е. средой, в которой движение заря-
дов невозможно. В стационарном состоянии потенциал поля во всех точках области
V, − включая ее границу, одинаков, так как иначе бы возникло движение электриче-
ских зарядов, стремящееся выровнять потенциал, и поле менялось бы. Отсюда непо-
средственно очевидно, что в области V потенциал поля и удовлетворяет уравнению
Лапласа: Δu = 0 ( Δu = div grad u ) . Внутри проводника заряды разных знаков
должны быть взаимно нейтрализованы. Следовательно, если достигается стацио-
нарное состояние, то избыточные заряды располагаются на границе ∂V проводника
в виде бесконечно тонкого электрического слоя. Потенциал этого слоя в точке x вы-
ражается интегралом:
                                                         γ2
                                             u=     ∫∫ r
                                                    ∂V
                                                                 ds,                    (13.1)

где r− расстояние от переменной точки ξ поверхности проводника до точки x. Если
                                             1
точка x находится вне проводника, то функция   удовлетворяет уравнению Лапла-
                                             r
са. Следовательно, уравнению Лапласа удовлетворяет и потенциал u, определяемый
формулой (13.1). Чтобы доказать это утверждение, достаточно применить к инте-