Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 37 стр.

                                                      37

                        T " (θ )     ρ 2Q '' ( ρ ) + ρQ ' ( ρ )
Разделяем переменные:             =−                            . Приравнивая каждую часть
                        T (θ )                 Q( ρ )
полученного равенства постоянной − k , получим два обыкновенных дифференци-
                                         2

альных уравнения: T " (θ ) + k ⋅ T (θ ) = 0, ρ Q" ( ρ ) + ρQ ' ( ρ ) − k Q ( ρ ) = 0.
                                2                    2                       2

Отсюда при k=0 получим
                                T (θ ) = A + Bθ ,                               (14.1)
                                 Q( ρ ) = C + D ln ρ .                          (14.2)
Если же k > 0,      то T (θ ) = A cos kθ + B sin kθ ,                           (14.3)
а решение второго уравнения будем искать в виде Q ( ρ ) = ρ , что дает
                                                                    m


ρ 2 m(m − 1) ρ m − 2 + ρmρ m −1 − k 2 ρ m = 0, или ρ m (m 2 − k 2 ) = 0, m = ± k .
                                         −k
Следовательно, Q ( ρ ) = Cρ + Dρ .
                               k
                                                                           (14.4)
Заметим, что u ( ρ ,θ ) как функция θ есть периодическая функция с периодом 2π,
так как величины u ( ρ ,θ ) и u ( ρ ,θ + 2π ) соответствуют однозначной функции в
одной и той же области. Поэтому, в (14.1) В=0, а в (14.3) k может иметь одно из зна-
чений 1,2,3,…( k >0). Далее, в (14.2) и в (14.4) D=0, так как в противном случае
функция u имела бы разрыв при r=0 и не была бы гармонической в круге. Итак, мы
получили бесчисленное множество частных решений уравнения Δu ( ρ ,θ ) = 0, не-
прерывных в круге, которые можно записать в виде
                A0
u0 ( ρ ,θ ) =      , un ( ρ ,θ ) = ( An cos nθ + Bn sin nθ )ρ n , (n = 1,2,....).
                2
                                         A0 ∞
Составим функцию         u ( ρ ,θ ) =      + ∑ ( An cos nθ + Bn sin nθ )ρ n , которая в следст-
                                         2 n =1
вие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением. Ос-
тается определить величины A0 , An , Bn так, чтобы эта функция удовлетворяла ус-
                                A    ∞
ловию u ρ = R = ϕ (θ ), ϕ (θ ) = 0 + ∑ ( An cos nθ + Bn sin nθ )R n .
                                 2 n=1
Это разложение функции ϕ (θ ) в ряд Фурье в промежутке [-π,π]. В силу известных
формул находим
                π                          π                                    π
          1                 1                                               1
   A0 =
        π −π    ∫
            ϕ (τ )dτ , An = n
                           πR             −
                                           ∫πϕ (τ ) cos nτ dτ ,        Bn = n
                                                                           πR   ∫πϕ (τ ) sin nτ dτ .
                                                                                −
                                     π
                                 1           ⎧⎪ 1   ⎛ρ⎞
                                                       ∞           n
                                                                       ⎫⎪
Таким образом, u ( ρ ,θ ) =
                                π    ∫ ⎨ ∑⎜ ⎟
                                      ϕ
                                     −π
                                        (τ )      +
                                               ⎪⎩ 2
                                                        cos
                                                      n =1
                                                            n (τ
                                                             ⎝R⎠
                                                                 − θ )  ⎬dτ . После преобра-
                                                                           ⎪⎭
зований получим