Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 39 стр.

                                                  39

                                      г) u ρ = R = 3Rϕ (2π − ϕ ).
               2               2
в) u ρ = R = 2 x − 4 xy − 6 y ;
                         3           3x
Ответ. а) u ( ρ ,θ ) =     ρ cosθ = ;
                         R            R
        б) u = 3 − 5 y = 3 − 5 ρ sin θ ;
        в) u = 4 ρ cos 2θ − 2 ρ sin 2θ − 2 R = 4 x − 4 xy − 4 y − 2 R ;
                      2            2         2      2          2     2

                                   ∞     1
        г) u ( ρ , ϕ ) = 2π R − 12 ∑ 2 n ρ cos nθ .
                           2               n

                                  n =1 n R
44. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой
пластинке радиуса R, если распределение температуры на окружности, ограничи-
вающей эту пластинку, задается формулой
             ⎧1, 0 ≤ θ ≤ π ,
f ( R, θ ) = ⎨
             ⎩0, π < θ ≤ 2π .
               ⎧ 1            R2 − r 2
               ⎪⎪1 − π arctg 2 Rr sin θ , 0 ≤ θ ≤ π ,
Ответ. u = ⎨
                               2    2
                ⎪− 1 arctg R − r , π < θ ≤ 2π .
                ⎪⎩ π        2 Rr sin θ
                                                                                            τ −θ
Указание. В интеграле Пуассона нужно воспользоваться подстановкой tg                               = t.
                                                                                             2
45. Найти гармоническую функцию внутри кольца 1 ≤                        ρ ≤ 2, удовлетворяющую
краевым условиям u ρ =1 = 0; u ρ = 2 = Ay.
                      8A
Ответ. u ( ρ ,θ ) =      sh ln ρ sin θ .
                       3
Указание. Ввести полярные координаты. Можно воспользоваться формулой
                               ∞
                                    ⎛⎛            C ⎞              ⎛         D ⎞            ⎞
u ( ρ , ϕ ) = C0 + D0 ln ρ +   ∑    ⎜⎜ ⎜⎜ An ρ n + nn ⎟⎟ cos nθ + ⎜⎜ Bn ρ n + nn ⎟⎟ sin nθ ⎟⎟.
                               n =1 ⎝ ⎝           ρ ⎠              ⎝         ρ ⎠            ⎠
Коэффициенты определяются из граничных условий.
46. Найти решение уравнения Лапласа в области, заключенной между двумя кон-
центрическими окружностями радиусов R1 и R2 с центром в начале координат,
                                             ∂u
удовлетворяющее краевым условиям                           = ϕ1 (θ ), u ρ = R = ϕ 2 (θ ).
                                             ∂ρ   ρ = R1
                                                                             2


Указание. Решение представить в виде ряда Фурье по cos kθ и sin kθ .