Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

38
∫
−
+−−
−
=
π
π
τ
ρθτρ
ρ
τϕ
π
θρ
.
)cos(2
)(
1
),(
22
22
d
RR
R
u Это решение задачи Дирихле для
круга. Интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Пуассона.
Примеры
41. На окружности круга
222
Ryx ≤+
температура распределяется по закону:
.
2
1
22
222
yyxu
Ryx
+−=
=+
Найти распределение температуры внутри круга,
предполагая, что оно стационарно.
Решение. Поставленная задача − задача Дирихле для круга: требуется найти функ-
цию, гармоническую внутри круга и принимающую на границе круга заданные зна-
чения
.sin
2
1
2cossin
2
1
sincos),(
22222
θθθθθθ
RRRRRRu +=+−=
Согласно теории уравнения Лапласа искомая функция внутри круга имеет вид
∑
∞
=
+=
0
).sincos(),(
n
nn
n
nBnAu
θθρθρ
При этом
∫
−
=
π
π
θθϕ
π
dA )(
2
1
0
Из граничного условия получим:
∑
∞
=
+=+=
0
2
).sincos(sin
2
1
2cos),(
n
n
n
n
n
nBRnARRRu
θθθθθρ
Откуда, срав-
нивая коэффициенты при
θ
2cos и
,sin
θ
получим:
.
2
1
,
12
22
RBRARR ==
Сле-
довательно,
.
2
1
,1
12
== BA
Остальные коэффициенты равны нулю. Подставляя
найденные коэффициенты в выражение для
),(
θ
ρ
u
, получим решение задачи:
+−=+= )sin(cossin
2
1
2cos),(
2222
θθρθρθρθρ
u
.
2
1
),(..,
2
1
sin
2
1
2222
yyxyxuетyyx +−=+−=+
θρ
42. Является ли гармонической функция
,
1
ln
ρ
=u
где
?
22
yx +=
ρ
Ответ. Да.
43. Решить задачу Дирихле для круга радиуса R с центром в начале координат, если
заданы следующие граничные условия:
а)
;
3
R
x
u
R
=
=
ρ
б)
;53 yu
R
−
=
=
ρ
                                                    38

                   π
               1              R2 − ρ 2
u ( ρ ,θ ) =
             π −π  ∫
                 ϕ (τ ) 2
                       R − 2 Rρ cos(τ − θ ) + ρ 2
                                                  dτ . Это решение задачи Дирихле для

круга. Интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Пуассона.

Примеры
                              2   2   2
     41. На окружности круга x + y ≤ R температура распределяется по закону:
                                    1
u   2   2
    x + y =R   2   = x2 − y2 +        y. Найти распределение температуры внутри круга,
                                    2
предполагая, что оно стационарно.
Решение. Поставленная задача − задача Дирихле для круга: требуется найти функ-
цию, гармоническую внутри круга и принимающую на границе круга заданные зна-
                                                    1                      1
чения u ( R,θ ) = R cos            θ − R 2 sin 2 θ + R sin θ = R 2 cos 2θ + R sin θ .
                           2   2
                                                    2                      2
Согласно теории уравнения Лапласа искомая функция внутри круга имеет вид
               ∞                                                       π
                                                           1
u ( ρ ,θ ) = ∑ ρ ( An cos nθ + Bn sin nθ ). При этом A0 =              ∫πϕ (θ )dθ
                       n

             n=0                                          2π           −


Из граничного условия получим:
                         1           ∞
u ( ρ ,θ ) = R 2 cos 2θ + R sin θ = ∑ ( R n An cos nθ + R n Bn sin nθ ). Откуда, срав-
                         2          n=0
                                                                     1
нивая коэффициенты при cos 2θ и sin θ , получим: R = R A2 , R = RB1. Сле-
                                                            2  2
                                                                     2
                            1
довательно, A2 = 1, B1 = . Остальные коэффициенты равны нулю. Подставляя
                            2
найденные коэффициенты в выражение для u ( ρ ,θ ) , получим решение задачи:
                         1
u ( ρ ,θ ) = ρ 2 cos 2θ + ρ sin θ = ρ 2 (cos 2 θ − sin 2 θ ) +
                         2
   1                      1                                1
+ ρ sin θ = x 2 − y 2 + y, т. е. u ( x, y ) = x 2 − y 2 + y.
   2                       2                               2
                                                   1
42. Является ли гармонической функция u = ln , где ρ = x + y ?
                                                                   2    2
                                                            ρ
Ответ. Да.
43. Решить задачу Дирихле для круга радиуса R с центром в начале координат, если
заданы следующие граничные условия:
               3x
а) u ρ = R =      ;                       б) u ρ = R = 3 − 5 y;
               R

Страницы