Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 36 стр.

                                                     36

гралу (13.1) правило дифференцирования по параметру, что можно сделать, так как,
по предположению, точка x находится вне поверхности ∂V и, следовательно, по-
дынтегральная функция в выражении (13.1) нигде не обращается в бесконечность.
Итак, в каждой точке x, лежащей вне проводника, потенциал u также удовлетворяет
уравнению Лапласа. Поэтому возникает задача нахождения функции u, удовлетво-
ряющей уравнению Лапласа во всех точках окружающего проводник пространства,
стремящейся к нулю на бесконечности и удовлетворяющей условию
U=const, когда x∈∂ V.
       Это последнее условие получило название граничного условия, в связи с чем
рассматриваемую математическую задачу называют граничной.
       В зависимости от вида граничного условия различают три основных вида гра-
ничной задачи:
1. u ( x ) = ϕ ( x ), когда x∈∂ V − первая граничная задача или задача Дирихле,
   ∂u
2.     = ϕ (x), когда x∈∂ V − вторая граничная задача или задача Неймана,
   ∂n
       ∂u
3. α 2    + α1u = ϕ ( x), когда x∈∂ V − третья или смешанная граничная задача.
       ∂n
       Здесь ϕ , α1 , α 2 − непрерывные функции, определенные на граничной поверх-
              ∂u
ности ∂ V, а       означает производную, взятую в точке поверхности ∂ V по направ-
              ∂n
лению внешней нормали к ней. К этим видам граничной задачи приводит изучение
широкого круга стационарных физических явлений и процессов.

                 14. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.

      Функцию, удовлетворяющую в области D уравнению Лапласа, называют гар-
монической в этой области.
      Пусть дан круг радиуса R c центром в полюсе O полярной системы коорди-
нат. Будем искать функцию u(ρ,θ), гармоническую в круге и удовлетворяющую на
его окружности условию u ρ = R = ϕ (θ ), где ϕ (θ ) − заданная функция, непрерывная
на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа
    ∂ 2u       ∂u ∂ 2u
ρ    2
         +ρ        +         = 0. Допустим, что частное решение                              имеет   вид
   ∂ρ 2        ∂ρ ∂θ 2
u = Q( ρ ) ⋅ T (θ ). Тогда получим
                   ρ 2Q '' ( ρ ) ⋅ T (θ ) + ρQ ' ( ρ ) ⋅ T (θ ) + Q( ρ ) ⋅ T ' ' (θ ) = 0.