Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 34 стр.

                                                                              34

температуры на этом участке до значения u0 . Следовательно, формула (12.12) при-
                                             h              (ξ − x )2                               h        (ξ − x ) 2
                                    1                   −                             Q0                 −
нимает вид: u ( x,τ ) =
                                2 πτ         ∫u e
                                             −h
                                                    0
                                                               4τ d         ξ=
                                                                                   4h πτ cρ         ∫e
                                                                                                   −h
                                                                                                                4τ d  ξ.

Будем теперь уменьшать h, устремляя его к нулю, считая количество тепла неиз-
менным, т.е. введем понятие мгновенного точечного источника тепла мощности
Q0 , помещенного в момент τ = 0 в точке x=0. При этом распределение температур
                                                                                                                                (ξ − x ) 2
                                                                  1 h −                             Q0
в стержне будет определяться формулой: u ( x, τ ) =         lim ∫ e                                                                4τ        dξ ,
                                                    2 πτ cρ h → 0 2h − h
                                                                                             x2
                                                                             Q0          −
или по теореме о среднем u ( x, τ ) =                                                e       4τ   . В частности, если Q0 = cρ , то
                                                                       2 πτ cρ
                                                                                                                                 τ
температура в любой точке стержня в произвольный момент времени t =                                                                     (а − ко-
                                                                                                                                    a
эффициент           температуропроводности)                                        может          быть            найдена      по       форму-
                                 x2                                                                ∞
                     1         −
ле: u ( x, t ) =           e     4 at   . Заметим, что величина cρ ∫ u ( x, t )dx есть общее количе-
                   2 πat                                                                           −∞
ство тепла, полученное стержнем к моменту времени t:
                                                                     x2
              +∞
                              cρ                        +∞       −
Q (t ) = cρ ∫ u ( x, t )dx =                            ∫    e       4 at   dx.
           −∞                2 πat                      −∞
                                                                                                             ∞            2    π
Но последний(справа) интеграл есть интеграл Пуассона:                                                         ∫   e −αx dx =     . Поэтому
                                                                                                             −∞                α
получаем, что Q (t ) = cρ = Q0 = const , что согласуется с законом сохранения энер-
гии.
                                 2
                       ∂u     2 ∂ u
40. Решить уравнение      =a         , если начальное распределение температуры
                       ∂t       ∂t 2
                                                            ⎧u0 , если x1 < x < x2 ,
стержня определяется равенством u ( x, t ) t = 0 = f ( x) = ⎨
                                                            ⎩0, если x < x1 , или x > x2 .
                                        x2        ( x −ξ ) 2
                      u0                     −
Ответ. u ( x, t ) =
                    2a πt               ∫e
                                        x1
                                                    4a 2t      dξ .

Замечание. Решение u(x,t) можно выразить через интеграл вероятности .