Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 40 стр.

                                                40

                                  15. Метод функций Грина.

Рассмотрим краевую задачу для уравнения эллиптического типа
                    Δ(u ) = f ( M ),                                         (15.1)
          ⎛         ∂u ⎞
          ⎜α1u + α 2 ⎟ = ϕ ( M ), s = ∂V ,                                   (15.2)
          ⎝         ∂n ⎠ s
где α1 = α1 ( M ), α 2 = α 2 ( M ), α1 , α 2 ≥ 0, α1 + α 2 ≠ 0.
                                                   2     2

Функцией Грина называют решение задачи (15.1),(15.2) при специальных значениях
функций f и ϕ , именно: f ( M ) = −δ ( M , P ) (δ − дельта функция), ϕ ( M ) ≡ 0.
Решение этой задачи, т.е. функцию Грина обозначим через G(M,P). Если функция
Грина найдена, то с ее помощью легко найти и решение исходной задачи (15.1),
(15.2). Для этого применим формулу Грина к функциям v=G(M,P) и к исходному
решению u(M):
                                                   ⎛ ∂u    ∂G ⎞
                        ∫
                        V
                                                     ∫
                            (GΔ(u ) − uΔ (G ))dv = ⎜ G − u
                                                   ⎝ ∂n
                                                     S
                                                              ⎟dσ .
                                                           ∂n ⎠
Поскольку в области V Δ (u ) = f ( M ), a Δ (G ) = −δ ( M , P), то
                                               ⎛ ∂u     ∂G ⎞
∫ f (M )G(M , P)dv + ∫ u(M )δ (M , P)dv
V                      V
                        M                   = ⎜G − u
                                             S ⎝  ∂n
                                                     M   ∫
                                                         ∂n
                                                            ⎟dσ M .
                                                            ⎠
Второй интеграл левой части по свойству δ − функции равен u(P). Поэтому по-
следнее соотношение можно записать в виде
          ⎛ ∂u   ∂G ⎞
        ∫
u ( P) = ⎜ G − u
        S ⎝ ∂n   ∂n ⎠      V
                                        ∫
                    ⎟dσ M − G ( M , P) f ( M )dvM .                           (15.3)

Здесь интегрирование производится по координатам точки М.
      Для первой граничной задачи (α1 ≡ 1, α 2 ≡ 0) G S = 0, u S = ϕ , из формулы
(15.3) получим решение задачи (15.1),(15.2)
                     ∂G
            ∫
u ( P) = − ϕ ( M )
            S
                     ∂n            ∫
                        dσ M − G ( M , P ) f ( M )dvM . Для второй граничной задачи
                              V
                     ∂G                ∂u
(α1 ≡ 0, α 2 ≡ 1)         = 0,              = ϕ ( M ) и из формулы (15.3) получаем решение
                     ∂n S              ∂n S
задачи (15.1), (15.2)
u ( P) = ∫ G ( M , P)ϕ ( M )dσ M − ∫ G ( M , P) f ( M )dvM .
        S                               V
Для третьей граничной задачи (α1 ≠ 0 u α 2 ≠ 0)
                      ∂G      α               ∂u     α      ϕ (M )
                           = − 1 G S,              =− 1uS +        .
                      ∂n S    α2              ∂n S   α2      α2 S