ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
42
Пример 2. Функция Грина для шара. Пусть V − шар, ограниченный сферой S:
2222
Rzyx =++ с центром в начале координат. Поместим единичный заряд в
точку
P, расположенную внутри сферы S. Покажем, что действие этого заряда на S
может быть уничтожено некоторым зарядом, помещенным в точке
,
1
P являющейся
инверсией точки
P относительно сферы S; точка ,
1
P лежит на прямой ОР вне шара,
причем
.
2
1
R
OPOP
=⋅
ρρ
(16.3)
Пусть
−
P
произвольно зафиксированная точка сферы S. Рассмотрим два треуголь-
ника
P
O
P
и .
1
POP Эти треугольники подобны, так как они имеют общий угол при
вершине
О и стороны, образующие этот угол, пропорциональны в силу (16.3). Из
подобия треугольников следует
R
PP
PP
0
1
ρ
ρ
ρ
= , где
;
0 OP
ρ
ρ
=
откуда
0
4
1
4
1
1
0
=⋅−
PPPP
R
πρρπρ
(16.4)
при любом положении точки
P
на сфере.
Рисунок 7.
Из (16.4) следует, что действие заряда 1
=
q в Р уничтожается на S зарядом
,
0
ρ
R
q −=
помещенном в
.
1
P
Следовательно, функция Грина − потенциал поля,
созданного этими зарядами − есть
.
11
4
1
),(
1
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−=
MPMP
R
PMG
ρρρπ
Метод элек-
тростатических изображений можно применить и в плоском случае, однако физиче-
ская интерпретация здесь будет несколько иной. Именно, если на прямой, проходя-
щей через точку
Р ортогонально плоскости (x,y), разместить положительные элек-
трические заряды с единичной плотностью, то они создадут плоское поле (т.е. поле,
не зависящее от координаты
z), потенциал которого (при соответствующем выборе
системы единиц) будет равен
.
1
ln
2
1
)(
0
MP
Mu
ρπ
=
42
Пример 2. Функция Грина для шара. Пусть V − шар, ограниченный сферой S:
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 с центром в начале координат. Поместим единичный заряд в
точку P, расположенную внутри сферы S. Покажем, что действие этого заряда на S
может быть уничтожено некоторым зарядом, помещенным в точке P1 , являющейся
инверсией точки P относительно сферы S; точка P1 , лежит на прямой ОР вне шара,
причем
ρ OP ⋅ ρ OP1 = R 2 . (16.3)
Пусть P − произвольно зафиксированная точка сферы S. Рассмотрим два треуголь-
ника OP P и OP1 P. Эти треугольники подобны, так как они имеют общий угол при
вершине О и стороны, образующие этот угол, пропорциональны в силу (16.3). Из
ρ PP ρ 0
подобия треугольников следует = , где ρ 0 = ρ OP ; откуда
ρ PP1 R
1 R 1
− ⋅ =0 (16.4)
4πρ PP ρ 0 4πρ PP1
при любом положении точки P на сфере.
Рисунок 7.
Из (16.4) следует, что действие заряда q = 1 в Р уничтожается на S зарядом
R
q=− , помещенном в P1. Следовательно, функция Грина − потенциал поля,
ρ0
1 ⎛ 1 R 1 ⎞
созданного этими зарядами − есть G ( M , P) = ⎜ − ⋅ ⎟. Метод элек-
4π ⎜ ⎟
⎝ ρ MP ρ 0 ρ MP1 ⎠
тростатических изображений можно применить и в плоском случае, однако физиче-
ская интерпретация здесь будет несколько иной. Именно, если на прямой, проходя-
щей через точку Р ортогонально плоскости (x,y), разместить положительные элек-
трические заряды с единичной плотностью, то они создадут плоское поле (т.е. поле,
не зависящее от координаты z), потенциал которого (при соответствующем выборе
1 1
системы единиц) будет равен u0 ( M ) = ln .
2π ρ MP
