Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 41 стр.

                                             41

                             ϕ (M )
В этом случае u ( P ) =   ∫S α 2 (M ) G(M , P)dσ M −V∫ G(M , P) f (M )dvM .
Таким образом, исходная задача сводится к задаче о нахождении функции Грина.

16. Нахождение функции Грина методом электростатических изображений.

      Функция Грина находится явно лишь для областей частного вида. При по-
строении функции Грина полезно воспользоваться следующей ее физической ин-
терпретацией. Из курса физики известно, что электрический заряд величины q, по-
мещенный в точку Р, создает в свободном неограниченном пространстве электро-
статическое поле, потенциал которого (при определенном выборе системы единиц)
                               q
равен:          u0 ( M ) =             .                               (16.1)
                             4πρ MP
Поскольку в замкнутой области V функция Грина G(M,P) имеет вид
                                   1
                G ( M , P) =    + g ( M , P ),                  (16.2)
                         4πρ MP
где g(M,P), как функция точки М, гармоническая в области V и непрерывна вместе
с первыми производными в замыкании [V] области V, то первое слагаемое в пра-
вой части (16.2) является потенциалом точечного единичного заряда, помещенного в
точке Р области V. Второе слагаемое g(M,P) можно также интерпретировать, как
потенциал электростатического поля, созданного одним или несколькими зарядами,
но расположенными обязательно вне области V. Это возможно сделать потому, что
потенциал электростатического поля, т.е. функция вида (16.1), является гармониче-
ской функцией в любой области, свободной от зарядов (т.е. при М≠Р). Заряды вне V
надо выбрать так, чтобы они уничтожили на поверхности S действие заряда в точке
P, т.е. чтобы выполнялось соотношение G S = 0; эти заряды называют электроста-
тическими изображениями единичного заряда в Р, а сам метод нахождения функции
Грина − методом электростатических изображений.
Пример 1. Функция Грина для полупространства. Пусть S есть плоскость z=0, а
V − полупространство z>0. Если в точке P∈ V поместить единичный положитель-
ный заряд, то его действие на S уничтожится, очевидно, единичным отрицательным
зарядом, помещенным в точке P1 , которая является зеркальным изображением точки
P относительно S. Потенциал поля, созданного зарядом в P1 , есть
                1
g (M , P) = −         и, следовательно, функция Грина −
              4πρ MP1
                1   ⎛ 1      1     ⎞
G ( M , P) =        ⎜     −        ⎟.
               4π   ⎜              ⎟
                    ⎝ ρ MP ρ MP1   ⎠