Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 43 стр.

                                                       43



                           17. Решение задачи Дирихле для шара.

Зная функцию Грина, можно построить решение задачи Дирихле для уравнения Ла-
пласа. Поскольку в этом случае f ( M ) = 0, то искомое решение примет вид
                        ∂G
         ∫
u ( P) = − ϕ ( M )
         S
                        ∂n
                           dσ M . Поскольку в этом случае

                ⎛
                1                 ⎞
G ( M , P) =    ⎜ 1 − R ⋅ 1 ⎟,               то
                ⎜ρ
               4π                 ⎟
                ⎝ MP ρ 0 ρ MP1 ⎠
            1 ∂ ⎛⎜ 1       R     1           ⎞
u ( P) = −     ∫          − ⋅
           4π S ∂n ⎝⎜ ρ MP ρ 0 ρ MP1
                                             ⎟ϕ ( M )dS M , где ϕ ( M ) = u . Таким образом,
                                             ⎟
                                             ⎠
                                                                           S

остается произвести дифференцирование в подынтегральном выражении. Пусть
Т − переменная точка, расположенная внутри шара.




  Рисунок 8.
                                                                                       1
Из треугольников ОТР и OTP1 получим                     ρ PT = ( ρ + ρ − 2 ρρ 0 cos γ ) ,
                                                                 2    2
                                                                      0
                                                                                       2

                                      1
ρTP1 = ( ρ + ρ − 2 ρρ1 cos γ ) ,
          2         2
                    1
                                      2

где ρ = ρ OT , ρ 0 = ρ OP , ρ 1 = ρ OP1 , γ − угол при вершине О. Учитывая, что
направление внешней нормали к сфере совпадает с направлением радиуса (т.е. с
направлением роста ρ ), получим
 ∂    ⎛ 1    R    1           ⎞ ∂ ⎛ 1       R 1               ⎞
      ⎜    −   ⋅              ⎟=   ⎜      −     ⋅             ⎟      . Учитывая выражения для
      ⎜ρ                      ⎟ ∂P ⎜ ρ                        ⎟
∂nM   ⎝ P M ρ 0 ρ MP1         ⎠    ⎝   TP   ρ 0   ρTP1        ⎠ ρ =R
                                          R2
ρTP и для ρTP1 , а также, что ρ1 =             подсчитаем правую часть последнего выра-
                                          ρ0
жения и получим, что
          1                  R 2 − ρ 02
u ( P) =
         4πR   ∫                                   3
                                                       ϕ ( M )dS M . Эта формула называется фор-
               S   ( R 2 + ρ 02 − 2 Rρ 0 cos γ )   2

мулой Пуассона, а интеграл, стоящий справа − интегралом Пуассона.