Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 44 стр.

UptoLike

44
Можно проверить, что функция )(
P
u действительно является решением зада-
чи Дирихле для шара при любой непрерывной функции
).(
M
ϕ
Для этого следует
записать подынтегральное выражение в декартовых координатах
),(
))()()((
2
3
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
M
zyx
zyxR
ϕ
ςηξ
++
где
),,(),,,(
000
ς
η
ξ
zyx
соответственно координаты точек
),,(
000
zyxP
и
).,,(
ς
η
ξ
M
Непосредственным дифференцированием убеждаемся, что это выражение как функ-
ция точки
),,(
000
zyxP
удовлетворяет уравнению Лапласа.
                                                44

      Можно проверить, что функция u (P ) действительно является решением зада-
чи Дирихле для шара при любой непрерывной функции ϕ (M ). Для этого следует
записать подынтегральное выражение в декартовых координатах
          R 2 − x02 − y02 − z02
                                       3
                                           ϕ ( M ),
(( x0 − ξ ) 2 + ( y0 − η ) 2 + ( z0 − ς ) )
                                     2 2

где ( x0 , y0 , z0 ), (ξ ,η , ς ) − соответственно координаты точек P ( x0 , y0 , z0 ) и
M (ξ ,η , ς ).
Непосредственным дифференцированием убеждаемся, что это выражение как функ-
ция точки P ( x0 , y0 , z0 ) удовлетворяет уравнению Лапласа.