Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 27 стр.

                                                        27

                  u (0, t ) = u0 = const ,⎫
                                          ⎬ (0 ≤ t < +∞). (11.3)
                  u (l , t ) = u1 = const ⎭
Не умаляя общности можно считать, что u0 = 0, u1 = 0, ибо в противном случае
этого всегда можно добиться при помощи замены искомой функции u ( x, t ) по фор-
муле
                                                     u1 − u0
                   v ( x, t ) = u ( x, t ) − u 0 −           x,      (11.4)
                                                        l
где v − новая неизвестная функция. Действительно, так как
∂v ∂u ∂ 2 v ∂ 2 v
   = ,        =     , то функция v удовлетворяет тому же уравнению, что и
∂t ∂t ∂x 2 ∂x 2
           ∂v      ∂ 2v
функция и:    = a 2 2 . Далее из (11.4) и (11.3) следует, что
           ∂t      ∂x
                           v(0, t ) = 0,⎫
                                         ⎬ (0 ≤ t < +∞).
                           v(l , t ) = 0 ⎭
Таким образом, достаточно найти решение уравнения (11.1), удовлетворяющее на-
чальному условию (11.2) и граничным условиям
                                    u (0, t ) = 0,⎫
                                                   ⎬ (0 ≤ t < +∞).
                                    u (l , t ) = 0 ⎭
Как и в случае волнового уравнения, будем искать решение уравнения (11.1) в виде
произведения двух функций
                       u = X ( x)T (t ) ,                    (11.5)
одна из которых зависит только от x , а другая −только от t; причем X ( x) ≠ 0 и
T (t ) ≠ 0 , ибо в противном случае u(x,t)≡ 0, что невозможно: функция и≡ 0 не
удовлетворяет начальному условию (11.2), поскольку предполагается, что f(x)≠ 0.
        В силу граничных условий функция X(x) должна обращаться в нуль на концах
интервала [0; l ]: X (0) = 0 X (l ) = 0. Подставляя (11.5) в (11.1), получим
                                            T ' (t )   X '' ( x)
           '       2 ''
X ( x) ⋅ T (t ) = a X ( x) ⋅ T (t ) или              =           = −λ .
                                           a 2T (t ) X ( x)
Отсюда заключаем, что функции X (x ) и T (t ) должны быть решениями однород-
ных линейных дифференциальных уравнений
                           X '' + λX = 0               (11.6)
                           T ' + a 2 λT = 0            (11.7)
Ненулевые решения уравнения (11.6) существуют только при λ = λk , где
              2
       πk
λk = ⎛⎜ ⎞⎟        (k = 1,2,..) , причем в качестве этих решений можно взять функции
      ⎝ l ⎠