Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 25 стр.

                                                        25

         ∂u ( x, t )     ⎛    ∂u ( x + Δx, t ) ⎞      ⎛ ∂u ( x + Δx, t ) ∂u ( x, t ) ⎞
  − ks               s − ⎜− k                 s ⎟ = ks⎜                 −            ⎟=
           ∂x            ⎝           ∂x         ⎠     ⎝        ∂x          ∂x ⎠
       ∂ 2 u ( x + θ 2 Δx , t )
  = ks                          Δx ,
                ∂x 2
где 0 < θ 2 < 1. ( Здесь применяется формула конечных приращений Лагранжа к
           ∂u ( x, t )
функции                ).
               ∂x
       Составим уравнение теплового баланса
                      ∂u ( x + θ1Δx, t )         ∂ 2 u ( x + θ 2 Δx , t )
                 cρ s                    Δx = ks                          Δx.
                              ∂t                          ∂x 2
Разделим обе части этого уравнения на sΔx (объем выделенного элемента стержня)
и устремим Δx к нулю (стягивая выделенный элемент стержня к сечению). Получим

                      ∂u ( x, t )      ∂ 2 u ( x, t )        ⎛ 2 k ⎞
                                  = a2                       ⎜⎜ a =    ⎟⎟.   (9.1)
                         ∂t                ∂x 2              ⎝      cρ  ⎠
Это уравнение называется уравнением теплопроводности для однородного стержня.
                           k
Величина a =                   называется коэффициентом температуропроводности. Иско-
                          cρ
мая функция u(x,t) должна удовлетворять уравнению (9.1), начальному условию
u ( x, t ) t = 0 = u ( x,0) = f ( x) (0 ≤ x ≤ l ), где f(x)− заданная функция от x (это усло-
вие выражает закон распределения температуры по длине стержня в начальный мо-
мент времени t =0), и граничным условиям
u ( x, t ) x = 0 = u (0, t ) = ϕ1 (t ),⎫⎪
                                           ⎬ (0 ≤ t ≤ +∞), где ϕ1 (t ) и ϕ 2 (t ) − заданные функции
u ( x, t ) x = l = u (l , t ) = ϕ 2 (t ). ⎪⎭
от времени t . Они определяют температуру, поддерживаемую на концах стержня.
Отметим, что уравнение не учитывает тепловой обмен между поверхностью стерж-
ня и окружающим пространством.


            10. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.

      Пусть Ω − конечная область трехмерного пространства. Обозначим через Q
в пространстве переменных (x,y,z,t) цилиндр, основание которого есть область Ω и
образующие которого параллельны оси Ot. Пусть QT − часть этого цилиндра, огра-
ниченного снизу плоскостью t=0 и сверху плоскостью t=T(T>0).Часть границы
цилиндра QT , состоящую из его нижнего основания (t=0) и боковой поверхности,
обозначим через Г .