Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

14
вычислить в этом сечении натяжение Т. Действительно, применяя закон Гука, най-
дем, что
,
x
u
EST
∂
∂
=
где
E
- модуль упругости материала стержня , а S – площадь
поперечного сечения. На элемент стержня, заключенный между сечениями с абс-
циссами
x и x+dx действуют силы натяжения
x
T
и
dxx
T
+
, направленные вдоль оси
ОХ; их результирующая
2
2
x
u
ES
x
u
ES
x
u
ESTT
xdxx
xdxx
∂
∂
≈
∂
∂
−
∂
∂
=−
+
+
также направ-
лена вдоль оси ОХ. С другой стороны, ускорение элемента равно
.
2
2
t
u
∂
∂
Согласно
второму закону Ньютона
,
2
2
2
2
dx
x
u
ES
t
u
Sdx
∂
∂
=
∂
∂
ρ
где
ρ
- объемная плотность
стержня. Положив
,
ρ
E
a =
получим дифференциальное уравнение продольных
колебаний стержня
.
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
Форма этого уравнения показывает, что про-
дольные колебания стержня носят волновой характер, причем скорость распростра-
нения продольных волн равна
.
ρ
E
5. Метод Даламбера.
Рассматривая свободные колебания струны, мы должны решить однородное урав-
нение
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(5.1)
при начальных условиях
),(),(
0
0
xF
t
u
xfu
t
t
=
∂
∂
=
=
=
(5.2)
где функции
)(
x
f
и
)(
x
F
заданы на всей числовой оси. Такая задача называется
задачей с начальными условиями или задачей Коши. Эту задачу можно решить ме-
тодом бегущих волн. Общее решение уравнения (5.1) имеет вид
),()(),( a
t
x
a
t
x
t
x
u
+
+
−=
ϕ
(5.3)
где
ϕ
и
ψ
предполагаются дважды дифференцируемыми.
Подобрав функции
ϕ
и
ψ
так, чтобы функция
),(
t
x
uu
=
удовлетворяла на-
чальным условиям (5.2), приходим к решению исходного дифференциального урав-
нения
.)(
2
1
2
)()(
dzzF
a
atxfatxf
u
atx
atx
∫
+
−
+
++−
=
                                                    14

вычислить в этом сечении натяжение Т. Действительно, применяя закон Гука, най-
                  ∂u
дем, что T = ES      , где E - модуль упругости материала стержня , а S – площадь
                  ∂x
поперечного сечения. На элемент стержня, заключенный между сечениями с абс-
циссами x и x+dx действуют силы натяжения Tx и Tx + dx , направленные вдоль оси

                                        ∂u          ∂u       ∂ 2u
ОХ; их результирующая Tx + dx − Tx = ES        − ES      ≈ ES 2 также направ-
                                        ∂x
                                        x + dx      ∂x x     ∂x
                                                                  ∂ 2u
лена вдоль оси ОХ. С другой стороны, ускорение элемента равно          . Согласно
                                                                  ∂t 2
                               ∂ 2u     ∂ 2u
второму закону Ньютона ρSdx 2 = ES 2 dx, где ρ - объемная плотность
                               ∂t       ∂x
                       E
стержня. Положив a =      , получим дифференциальное уравнение продольных
                             ρ
                  ∂ 2u       2
                          2 ∂ u
колебаний стержня      =a        . Форма этого уравнения показывает, что про-
                  ∂t 2      ∂x 2
дольные колебания стержня носят волновой характер, причем скорость распростра-
                                     E
нения продольных волн равна              .
                                     ρ
                                   5. Метод Даламбера.

Рассматривая свободные колебания струны, мы должны решить однородное урав-
                                         ∂ 2u       2
                                                 2 ∂ u
нение                                         =a                  (5.1)
                                         ∂t 2      ∂x 2
при начальных условиях
                                             ∂u
                     u t = 0 = f ( x),                = F ( x),   (5.2)
                                             ∂t t = 0
где функции f ( x ) и F ( x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется
задачей с начальными условиями или задачей Коши. Эту задачу можно решить ме-
тодом бегущих волн. Общее решение уравнения (5.1) имеет вид
                     u ( x, t ) = ϕ ( x − at ) + ψ ( x + at ), (5.3)
где ϕ и ψ предполагаются дважды дифференцируемыми.
      Подобрав функции ϕ и ψ так, чтобы функция u = u ( x, t ) удовлетворяла на-
чальным условиям (5.2), приходим к решению исходного дифференциального урав-
                                                 x + at
          f ( x − at ) + f ( x + at ) 1
нения u =
                       2
                                     +
                                       2a         ∫ F ( z)dz.
                                                 x − at

Страницы