Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 11 стр.

                                         11

   ∂ 2u       ∂ 2u         2
                        2 ∂ u       ∂u
a)      − 2 x       + x         − 2    = 0.
   ∂x 2       ∂x∂y        ∂y 2      ∂y
          ∂ 2u ∂ 2u                 x2
Ответ.          −      = 0, ξ = + y, η = x.
          ∂η 2 ∂ξ 2                  2
           2 ∂ u
                2
                               2 ∂ u
                                    2
                                           ∂u     ∂u
б) (1 + x )         + (1 + y )         +x     + y    = 0.
               ∂x 2               ∂y 2     ∂x     ∂y
          ∂ 2u ∂ 2u
Ответ.         + 2 = 0, ξ = ln( x + 1 + x 2 ), η = ln( y + 1 + y 2 ).
          ∂ξ 2
                ∂η

   ∂2 z     ∂2 z     ∂2z   ∂z     ∂z
в)      −4        − 3 2 − 2 + 6 = 0.
   ∂x 2
           ∂x∂y      ∂y    ∂x     ∂y
           2
          ∂ z     ∂z
Ответ.          −    = 0, ξ = x + y, η = 3 x + y.
         ∂ξ∂η ∂ξ

          3. Свободные колебания струны с закрепленными концами.


В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Натяже-
ния, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к
ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси
от 0 до l . Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0 и x=l. Если
струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой
себе или, не отклоняя положение, придать в начальный момент ее точкам некоторую
скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки
струны будут совершать движения − говорят, что струна начнет колебаться. Задача
заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении
закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
      Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положе-
ния. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит пер-
пендикулярно оси OX и в одной плоскости. При этом предположении процесс коле-
бания струны описывается одной функцией u ( x, t ) , которая дает величину переме-
щения точек струны с абсциссой x в момент t.