Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

8
14. .2
2
x
yx
u
=
∂∂
∂
Ответ.
).()(),(
21
2
xCyCyxyxu ++=
15.
.
2
2
y
u
y
u
∂
∂
=
∂
∂
Ответ.
).()(),(
21
xCexCyxu
y
+=
16.
.
2
2
yx
y
u
+=
∂
∂
Ответ.
).()(
62
),(
21
32
xCxyC
yxy
yxu +++=
17.
.6
2
2
x
x
u
=
∂
∂
Ответ.
).()(),(
21
3
yCyxCxyxu ++=
2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка.
С помощью замены переменных уравнение второго порядка
02
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
u
c
yx
u
b
x
u
a
(2.1)
сведем к одному из простейших уравнений. Полагая, что коэффициент
,0≠c вве-
дем новые независимые переменные
,,
21
yxyx
λ
η
λ
ξ
+
=
+
=
где
1
λ
и
2
λ
пока
произвольные, но различные (иначе
ξ
и
η
не будут взаимно независимые функции)
числа. Так как
ηξ
η
η
ξ
ξ
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
uu
x
u
x
u
x
u
и
,
21
η
λ
ξ
λ
η
η
ξ
ξ
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
uu
y
u
y
u
y
u
то имеет место соответствие
.,
21
η
λ
ξ
λ
ηξ
∂
∂
+
∂
∂
→
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
→
∂
∂
yx
Поэтому
,2
2
22
2
2
2
2
η
ηξ
ξ
ηξηξ
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ uuuuu
x
u
x
x
u
,)(
2
2
2
2
21
2
2
121
2
η
λ
ηξ
λλ
ξ
λ
η
λ
ξ
λ
ηξ
∂
∂
+
∂∂
∂
++
∂
∂
=
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂∂
∂ uuuuu
yx
u
                                              8

    ∂ 2u
14.       = 2 x.
    ∂x∂y
                     2
Ответ. u ( x, y ) = x y + C1 ( y ) + C2 ( x ).
    ∂ 2u ∂u
15.      = .
    ∂y 2 ∂y
                             y
Ответ. u ( x, y ) = C1 ( x )e + C2 ( x ).
    ∂ 2u
16.      = x + y.
    ∂y 2
                    xy 2 y 3
Ответ. u ( x, y ) =       +    + yC1 ( x) + C2 ( x).
                     2       6
    ∂ 2u
17.      = 6 x.
    ∂x 2
                     3
Ответ. u ( x, y ) = x + xC1 ( y ) + C2 ( y ).

    2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка.

   С помощью замены переменных уравнение второго порядка
                             ∂ 2u    ∂ 2u   ∂ 2u
                            a 2 + 2b      +c 2 =0                          (2.1)
                             ∂x      ∂x∂y   ∂y
сведем к одному из простейших уравнений. Полагая, что коэффициент c ≠ 0, вве-
дем новые независимые переменные ξ = x + λ1 y, η = x + λ2 y, где λ1 и λ2 пока
произвольные, но различные (иначе ξ и η не будут взаимно независимые функции)
числа. Так как
                       ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u
                            =     ⋅    +       ⋅     =      +     и
                       ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η
                     ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η                      ∂u      ∂u
                          =    ⋅    +       ⋅      = λ1     + λ2     ,
                     ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y                      ∂ξ      ∂η
                              ∂       ∂       ∂        ∂        ∂          ∂
то имеет место соответствие      →       +       ,        → λ1     + λ2       . Поэтому
                              ∂x     ∂ξ ∂η ∂y                  ∂ξ         ∂η
         ∂ 2u ∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂          ∂ ⎞⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ 2u                ∂ 2u      ∂ 2u
                =  ⎜ ⎟    = ⎜    +     ⎟⎜       +      ⎟ =     +  2         +       ,
         ∂x 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎜⎝ ∂ξ ∂η ⎠⎟⎜⎝ ∂ξ ∂η ⎟⎠ ∂ξ 2                 ∂ξ∂η ∂η 2
     ∂ 2u ⎛ ∂       ∂ ⎞⎛ ∂u           ∂u ⎞          ∂ 2u               ∂ 2u         ∂ 2u
           = ⎜⎜   +   ⎟⎟⎜⎜ λ1    + λ2     ⎟⎟ = λ1 2 + (λ1 + λ2 )             + λ2 2 ,
     ∂x∂y ⎝ ∂ξ ∂η ⎠⎝ ∂ξ               ∂η ⎠          ∂ξ                ∂ξ∂η          ∂η

Страницы