Метод контрольного объёма на неструктурированной сетке в вычислительной механике - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

матрицы в системах линейных уравнений (3.10) и (3.11) являются М-
матрицами.
Определение: Матрица
A=[ a
ij
] , i , j=0,n
, является М-матри-
цей, если выполняются следующие условия:
1.
a
ii
0, i=0,n
,
2.
a
ij
≤0, i≠ j , i , j =0, n
,
3.
∃ A
−1
и
A
−1
– положительно определённая.
Такие матрицы хорошо решаются с помощью итерационных ме-
тодов [27].
Системы линейных уравнений, соответствующие уравнениям
движения, можно быстро разрешить широко известным методом Гаус-
са-Зейделя. Этот метод позволяет быстро решать системы линейных
алгебраических уравнений со значительным диагональным преоблада-
нием.
В то же самое время метод Гаусса-Зейделя неэффективен при
нахождении поправки давления, так как матрица системы имеет диаго-
нальное преобладание лишь в узлах с известными значениями поправ-
ки давления. Слабое диагональное преобладание в М-матрицах дает
большое число обусловленности [27] (отношение максимального соб-
ственного значения к минимальному), что зачастую приводит к невоз-
можности получить результат. Поэтому в матрицах системы линейных
уравнений для расчёта поправки давления (3.11), обычно применяются
различные предобуславливатели.
Определение: Предобуславливающей матрицей или предобу-
славливателем называют легко обратимую матрицу
B
, которая неко-
торым образом повторяет матрицу
A
и
имеет значительно
меньшее число обусловленности чем матрица
A
.
Один и наиболее простых и экономичных предобуславлива-
телей - метод неполной факторизации
ILU 0
[27]. В основе данного
предобуславливателя лежит неполное разложение матрицы
A
размер-
ности
n×n
на нижнюю треугольную
L
и верхнюю треугольную
U
(разложение Гаусса
LU
для заполненной матрицы). Для разреженных
М-матриц используют неполное разложение
ILU
с исключением эле-
ментов, принадлежащих определённому множеству. В методе
ILU 0
в качестве такого множества берётся множество пар индексов, соот-
ветствующих нулевым элементам матрицы
A
:
Z A={i , j ; a
ij
=0, i , j =0, n , i≠ j}
.
На главной диагонали матрицы
L
стоят единицы, поэтому, для
экономии памяти
L
и
U
хранятся в одной матрице. Алгоритм
52

Страницы