Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

32
Íà ïåðâîå óðàâíåíèå ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì rot. Òàê êàê
( )
,0rotrot
0rot
=´Ñ+=
=
Ñ
eTeTeT
rrr
à 0
=
erot
r
, òî óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè ñâîäèòñÿ ê òðåáîâàíèþ
0
=
´
Ñ
eT
r
,
òî åñòü ãðàäèåíò ïàðàëëåëåí âåðòèêàëüíîé îñè è òåìïåðàòóðà ìîæåò ìå-
íÿòüñÿ òîëüêî ïî âåðòèêàëè:
(
)
zTT = . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîé ãîðèçîí-
òàëüíûé ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ êîíâåêòèâíîãî
äâèæåíèÿ.
Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ
0
2
2
=
=D
z
T
T
ñëåäóåò, ÷òî òåìïåðàòóðà ìîæåò
áûòü òîëüêî ëèíåéíîé ôóíêöèåé
âûñîòû:
B
Az
+
=
.
Ìû íå ïîëó÷èëè íèêàêîé
èíôîðìàöèè äàæå îòíîñèòåëüíî
çíàêà ãðàäèåíòà òåìïåðàòóðû.
Îïûò ïîäñêàçûâàåò, ÷òî óñòîé-
÷èâûì ìîæåò áûòü íàãðåâ ñâåð-
õó. Áîëåå òî÷íûé îòâåò ñîñòîèò â
òîì, ÷òî íåóñòîé÷èâîñòü íàñòó-
ïàåò ïðè ïîäîãðåâå ñíèçó ïîñëå
ïðåâûøåíèÿ íåêîòîðîãî (ñîâñåì
íåáîëüøîãî) êðèòè÷åñêîãî ãðà-
äèåíòà òåìïåðàòóðû. Íàïðèìåð,
â ãîðèçîíòàëüíîì ñëîå ñ òâåð-
äûìè ãðàíèöàìè êðèòè÷åñêîå
÷èñëî Ðåëåÿ, ïðè êîòîðîì âîçíèêàåò êîíâåêöèÿ, ðàâíî 1708. Îöåíèì ñîîò-
âåòñòâóþùóþ êðèòè÷åñêóþ ðàçíîñòü òåìïåðàòóðû, èìåÿ â âèäó äëÿ îïðåäå-
ëåííîñòè ñëîé âîäû òîëùèíîé h :
ì
ãðàä
hhhg
RT
3
7
34
76
3
*
10
10210
104.1101708
-
-
--
»
××
×××
»=D
b
nc
.
Ðèñ.
1.10.
32



Í à ïåðâîå óðàâíåíèå ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì rot. Òàê êàê

                           rot Ñ = 0
                                 r          r         r
                           rot (Te )= T rot e + Ñ T ´ e = 0,

     r
à rot e = 0 , òî óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè ñâîäèòñÿê òðåáîâàíèþ
                                          r
                                      ÑT ´e = 0,

òî åñòü ãðàäèåíò ïàðàëëåëåí âåðòèêàëüíîé îñè è òåìïåðàòóðà ìîæåòìå-
íÿòüñÿ òîëüêî ïî âåðòèêàëè: T = T ( z ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþ áîé ãîðèçîí-
òàëüíûé ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ êîíâåêòèâíîãî
äâèæåíèÿ.
      È ç âòîðîãî óðàâíåíèÿ

                                            ¶2 T
                                     DT =        =0
                                            ¶z 2

                                                   ñëåäóåò, ÷òî òåìïåðàòóðà ìîæåò
                                                   áûòü òîëüêî ëèíåéíîé ôóíêöèåé
                                                   âûñîòû:

                                                                     T = Az + B .

                                             Ì û íå ïîëó÷èëè íèêàêîé
                                       èíôîðìàöèè äàæå îòíîñèòåëüíî
                                       çíàêà ãðàäèåíòà òåìïåðàòóðû.
                                       Îïûò ïîäñêàçûâàåò, ÷òî óñòîé-
                                       ÷èâûì ìîæåò áûòü íàãðåâ ñâåð-
                                       õó. Áîëåå òî÷íûé îòâåò ñîñòîèò â
                                       òîì, ÷òî íåóñòîé÷èâîñòü íàñòó-
                                       ïàåò ïðè ïîäîãðåâå ñíèçó ïîñëå
                                       ïðåâûøåíèÿ íåêîòîðîãî (ñîâñåì
                                       íåáîëüø îãî) êðèòè÷åñêîãî ãðà-
                Ðèñ. 1.10.             äèåíòà òåìïåðàòóðû. Í àïðèìåð,
                                       â ãîðèçîíòàëüíîì ñëîå ñ òâåð-
                                       äûìè ãðàíèöàìè êðèòè÷åñêîå
÷èñëî Ðåëåÿ, ïðè êîòîðîì âîçíèêàåò êîíâåêöèÿ, ðàâíî 1708. Îöåíèì ñîîò-
âåòñòâóþ ù óþ êðèòè÷åñêóþ ðàçíîñòü òåìïåðàòóðû, èìåÿ â âèäó äëÿ îïðåäå-
ëåííîñòè ñëîé âîäû òîëù èíîé h :

                                nc     1708 ×10 - 6 ×1.4 ×10 - 7 10 - 7 ãðàä
                    DT = R *         »                          » 3          .
                               gbh 3      10 ×2 ×10 - 4 h 3       h      ì

Страницы