Элементы математической логики. Фролов И.С. - 4 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Введение

1. Традиционная логика

Логикой называется наука о законах и формах мышления. Разви-

тие логики на Востоке (Древняя Индия) и на Западе (Древняя Греция)

шло различными путями. Одним из важнейших моментов в истории

всей западной цивилизации было создание Аристотелем (384–322 гг. до

н.э.) формальной логики, изучающей формы правильных рассуждений.

Математическая логика есть часть формальной логики, в кото-

рой, с одной стороны, рассматриваются формы рассуждений, принятые

в математике, прежде всего доказательства, а с другой — применяются

математические методы исследования. Идея построения универсально-

го логического языка для всей математики была выдвинута немецким

математиком Лейбницем (1646–1716), но систематическое развитие ма-

тематической логики началось только после опубликования в 1847 г.

английским математиком Джорджем Булем (1815–1864) трактата «Ма-

тематический анализ логики», посвященного алгебраизации формаль-

ной логики.

Традиционная логика Аристотеля имеет дело с понятиями, суж-

дениями и умозаключениями. Суждения описывают простейшие взаи-

моотношения между понятиями. Четыре классических типа суждений:

A(S, P ) — общеутвердительное : «все S суть P »;

E(S, P ) — общеотрицательное : «ни одно S не есть P »;

I(S, P ) — частноутвердительное : «некоторые S суть P »;

O(S, P ) — частноотрицательное : «некоторые S не суть P »

в современной символике представляются так:

A : ∀x(S(x) ⇒ P (x)), I : ∃x(S(x) ∧ P(x)),

E : ∀x(S(x) ⇒ ¬P (x)), O : ∃x(S(x) ∧ ¬P(x)).

Формальная логика устанавливает ряд свойств суждений. Одно

из таких свойств — отношение противоречия между суждениями типов

A и O (а также между I и E): суждение типа A истинно тогда и только

тогда, когда суждение типа O с теми же членами ложно. Например,