Элементы математической логики. Фролов И.С. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

что означает истинность на множестве D импликации
α
1
Rβ
1
∧ . . . ∧ α
n
Rβ
n
⇒ ϕ(α
1
. . . α
n
)Rϕ(β
1
. . . β
n
);
4) если |P | = Φ — предикат на D
n
, то |P |
∗
= Φ
∗
— преди-
кат, определенный на классах эквивалентности следующим образом:
Φ
∗
([α
1
], . . . , [α
n
]) = Φ(α
1
, . . . , α
n
). Истинностное значение предиката Φ
∗
не зависит от выбора представителей в классах, поскольку, согласно
теореме 4(2), доказуема формула
x
1
= y
1
∧ . . . ∧ x
n
= y
n
⇒ (P (x
1
, . . . , x
n
) ⇒ P (y
1
, . . . , y
n
)),
что означает истинность на множестве D импликации
α
1
Rβ
1
∧ . . . ∧ α
n
Rβ
n
⇒ (Φ(α
1
. . . α
n
) ⇔ Φ(β
1
. . . β
n
)).
Следующая лемма легко может быть доказана путем рассмотре-
ния всех конструкций из определения терма и формулы логики первого
порядка с учетом определенной выше интерпретации M
∗
.
Лемма. Пусть M
s
— расширение M при помощи последователь-
ности s = (s
1
, s
2
, . . .), M
∗s
— расширение M
∗
при помощи последова-
тельности s
∗
= ([s
1
], [s
2
], . . .). Тогда произвольная формула F выполне-
на в M
s
тогда и только тогда, когда F выполнена в M
∗s
.
Из леммы немедленно следует, что любая формула F истинна в
M тогда и только тогда, когда она истинна в M
∗
; а так как M — модель
нашей эквациональной теории, то, следовательно, M
∗
— ее нормальная
модель.
Описанная в доказательстве теоремы 5 процедура построения
нормальной модели по произвольной модели называется нормализаци-
ей. Эта конструкция часто применяется в алгебре, геометрии и анали-
зе, когда необходимо рассматривать фактор-объекты (примеры — мо-
дульная арифметика, тензорное произведение векторных пространств,
проективные пространства, функциональные пространства L
p
и т.д.).
3. Элементарные теории
Элементарной теорией некоторого класса математических си-
стем называется формальная теория первого порядка, множество тео-
рем которой совпадает с множеством истинных в системах этого клас-
са формул, выразимых в этой теории. Во всех последующих примерах
предполагается, что алфавит элементарной теории содержит символ
72

Страницы