Элементы математической логики. Фролов И.С. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

«=», а формулы E1), E2) являются схемами (эквациональных) аксиом
этой теории; поэтому задание элементарной теории будет состоять в
перечислении остальных символов и специальных аксиом.
I. Элементарная теория групп G. Содержит константу 1, бинар-
ный функциональный символ · и аксиомы
G1) x · (y · z) = (x · y) · z;
G2) x · 1 = x;
G3) ∀x∃y(x · y = 1).
Добавив аксиому
G4) x · y = y · x,
получим элементарную теорию абелевых групп.
II. Элементарная теория полей F. Содержит константы 0 и 1,
бинарные функциональные символы + и · и аксиомы
F1) x + (y + z) = (x + y) + z; F5) x · (y · z) = (x · y) · z;
F2) x + 0 = x; F6) x · 1 = x;
F3) ∀x∃y(x + y = 0); F7) x · (y + z) = x · y + x · z;
F4) x + y = y + x; F8) x · y = y · x;
F9) x 6= 0 ⇒ ∃y(x · y = 1).
Заметим, что, если действовать строго в соответствии с опреде-
лениями, то надо использовать предметные символы a
1
и a
2
, функцио-
нальные символы f
1
, f
2
, предикатный символ P
1
и записывать аксиому
F2), например, так: P
1
(f
1
(x, a
1
), x), а аксиому F9) следующим образом:
¬P
1
(x, a
1
) ⇒ ∃y(P
1
(f
2
(x, y), a
2
)).
Удобно использовать, кроме общепринятых основных символов,
некоторые символы сокращений: например, формула t
1
6= t
2
есть со-
кращение для ¬(t
1
= t
2
).
III. Элементарная теория частично упорядоченных множеств
O. Содержит бинарный предикатный символ < и аксиомы
O1) ¬(x < x);
O2) x < y ∧ y < z ⇒ x < z.
В этой теории приняты сокращения:
t
1
6 t
2
для t
1
< t
2
∨ t
1
= t
2
;
t
1
> t
2
для t
2
< t
1
;
t
1
> t
2
для t
2
< t
1
∨ t
1
= t
2
,
73

Страницы