Элементы математической логики. Фролов И.С. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

с помощью которых можно записать теорему теории O:
x 6 y ⇒ ¬(x > y).
Формула ∀y(x 6 y) выражает предикат «наименьший элемент». При-
няв для этой формулы сокращенное обозначение M(x), можно записать
еще одну теорему теории O:
M(x) ∧ M(y) ⇒ x = y.
Нормальными моделями теорий G, F, O в точности являются все
группы, все поля, все частично упорядоченные множества. Существуют
и ненормальные модели.
Пример 3. Рассмотрим следующую интерпретацию множества
формул теории F: в качестве предметного множества возьмем множе-
ство целых чисел, символам 0, 1, +, · припишем их обычный смысл, а
символу «=» назначим предикат сравнимости по некоторому фиксиро-
ванному модулю m > 1. Нетрудно показать, что в этой интерпретации
истинны все формулы E1) и E2) (для любой формулы A, выразимой
в теории F), формулы F1)–F8), а при простом m также и F9). Таким
образом, если m — простое число, эта интерпретация является ненор-
мальной моделью теории F; нормализация приводит к полю классов
вычетов по модулю m.
IV. Элементарная арифметика A. Содержит константу 0, унар-
ный функциональный символ
0
, бинарные функциональные символы +
и · и аксиомы
A1) x
0
6= 0;
A2) x
0
= y
0
⇒ x = y;
A3) x + 0 = x;
A4) x + y
0
= (x + y)
0
;
A5) x · 0 = 0;
A6) x · y
0
= x · y + x;
A7) A(0) ∧ ∀x(A(x) ⇒ A(x
0
)) ⇒ ∀xA(x),
причем последняя определяет не аксиому, а схему аксиом с произволь-
ной формулой A(x) теории A (схему аксиом индукции).
Рассмотрим интерпретацию ω множества формул теории A, в ко-
торой предметным множеством является множество натуральных чи-
сел, а символам =, 0,
0
, +, · отвечают соответственно равенство, нуль,
прибавление единицы, сложение и умножение. Все аксиомы теории A,
включая эквациональные, в интерпретации ω оказываются истинными,
и, в силу очевидного свойства выводимости сохранять истинность, все
74

Страницы