Лекции по теории информации. Фурсов В.А. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

100
Лекция 12
Циклические коды
12.1 Математическое введение к циклическим кодам
Математическим аппаратом циклических кодов является теория колец.
Множество
называется кольцом, если для любой пары элементов из
опре-
делены операции сложения и умножения, множество
является аддитивной
абелевой группой, а также выполняются аксиомы замкнутости, ассоциативно-
сти и дистрибутивности. Подмножество элементов кольца
само являющееся
кольцом относительно операций в
называют подкольцом.
Подкольцо
аддитивной группы
называется идеалом, если для любого
из
и любого
из
элемент

принадлежит
. Если все элементы
кратны некоторому элементу кольца
, он называется главным идеалом, а
–
образующим элементом идеала.
Кольцо коммутативно, если
. Коммутативное кольцо
называет-
ся полем, если выполняются аксиомы:
1) кольцо
содержит элемент 1 такой, что для любого
из
1 1
 
;
2) для любого
существует
1
такой, что
1 1
1
.
Таким образом, поле
является абелевой группой. Подмножество
\ 0
явля-
ется мультипликативной абелевой группой.
Пусть на множестве
m
целых чисел сложение и умножение определены
по модулю
m
. Множество
m
называется кольцом классов вычетов по модулю
m
. Оно является коммутативным кольцом, а также кольцом главных идеалов.
Если
p
– простое число, то кольцо чисел по модулю
p
является полем.
Это поле далее будем обозначать
p

. Поле не может иметь менее двух
элементов, т.к. в нем должны быть единичные элементы как относительно сло-
жения, так и умножения. Поле, включающее только 0 и 1, далее будем обозна-
чать
2

, а вместо специального знака
, обозначающего операцию сложе-
ния по модулю два, для простоты будем использовать обычный знак сложения.

Страницы