ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
.
22
2222
gW
gW
g
g
gW
W
W +ϕ−=
+
+
+
ϕ−=
В результате получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника в виде
.0
22
=ϕ
+
+ϕ
l
gW
&&
(10.8)
Уравнение (10.8) показывает, что период колебаний маятника
.2
22
gW
l
T
+
π=
Задача 5. Предположим, что в положении относительного равновесия маятника (см. предыдущую задачу) нить
перерезают и материальная точка начинает свободно падать. Определить траекторию точки относительно вагона, если
падение точки начинается с высоты h.
В случае свободного падения сила
0=T
r
. Дифференциальные уравнения относительного движения точки имеют вид
., mgymmWxm
−
=
−
=
&&&&
Интегрируя
эти
уравнения
,
получим
21
, CgtyCWtx +−=+−=
&&
.
Так
как
при
t = 0 (
в
начальный
момент
времени
)
относительная
скорость
точки
равна
нулю
,
то
С
1
=
С
2
= 0.
В
результате
,Wtx
−
=
&
.gty
−
=
&
Интегрируя
эти
уравнения
,
получаем
,2
3
2
CWtx +−=
.2
4
2
Cgty +−=
При
t = 0
,sin
22
0
gWlWlx +−=ϕ−=
у
= h,
тогда
,
22
3
gWlWC +−=
C
4
= h .
Закон
относительного
движения
точки
имеет
вид
,2
222
gWlWWtx +−−=
.
2
2
gt
hy −=
Исключая
из
этих
уравнений
время
t,
получаем
уравнение
траектории
относительного
движения
точки
.
22
h
gW
lW
x
W
g
y =
+
+−
(10.9)
Уравнение
(10.9)
есть
уравнение
прямой
линии
,
проходящей
через
точку
М
о
и
точку
подвеса
А
маятника
(
рис
. 13).
Задача 6.
Проволочное
кольцо
радиусом
R
вращается
вокруг
вертикального
диаметра
АВ
с
постоянной
угловой
скоростью
ω
.
На
кольце
находится
небольшая
муфта
М
,
которая
может
без
трения
скользить
по
нему
.
Определить
положение
относительного
равновесия
муфты
(
рис
. 14).
Решение
.
Рассматриваем
поведение
муфты
в
системе
координат
хАу
,
связанной
с
вращающимся
кольцом
.
На
муфту
действуют
сила
тяжести
,gmР
r
r
=
нормальная
реакция
.N
r
Согласно
условию
относительного
равновесия
добавляем
переносную
силу
инерции
,
eе
Wm
r
r
−=Φ
Φ
e
= mW
e
; W
e
=
ω
2
x =
ω
2
R sin
ϕ
.
Для
относительного
равновесия
муфты
необходимо
и
достаточно
,
чтобы
проекции
сил
е
Φ
r
и
gm
r
на
касательную
к
окружности
были
равны
и
противоположны
по
знаку
,0cossin =ϕΦ−ϕ
e
mg .0)cos(sin
2
=ϕω−ϕ Rg
(10.10)
Из
уравнения
(10.10)
находим
,0sin =ϕ
,0
1
=ϕ
;
2
π=ϕ
,cos
2
ω
=ϕ
R
g
.arccos
2
3
ω
=ϕ
R
g
Положение
равновесия
соответствующее
углу
φ
3
,
возможно
только
при
Rg /≥ω
.
Найдём
величину
нормальной
реакции
N
в
положениях
равновесия
муфты
.sin)(
224222
ϕω+=Φ+== RgmmgTN
e
При
,0
1
=ϕ
,
2
π=ϕ
;mgN
=
при
.)/(arccos
2
3
ω=ϕ Rg
.)/1(
242242
RmRgRgmN ω=ω−ω+=
Устойчивость
или
неустойчивость
найденных
положений
равновесия
определяется
параметрами
ω
, R
рассматриваемой
задачи
.
ω
B
x
A
M
ϕ
ϕ
y
N
r
x
e
W
r
e
Φ
r
τ
r
Р
r
Т
r
Рис. 14
