Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 3 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Введение
1. Предмет и задачи математического анализа.
Среди всех наук математика занимает особое место,
так как ее аппарат используется во всех областях человече-
ской деятельности. Она может быть определена, например,
как наука о пространственных формах и количественных
отношениях реального мира.
Математический анализ - раздел математики, объек-
тами изучения которого являются функции, т.е. переменные
величины, зависящие от других переменных величин. На-
звание "математический анализ" представляет собой сокра-
щенное видоизменение старого названия "Анализ бесконеч-
но малых", так что одним из самых важных понятий в на-
шем курсе будет понятие предельного перехода и связанные
с ним понятия.
Математический анализ является основным среди
фундаментальных курсов, читаемых на специальности
"Прикладная математика". Он формирует базу для после-
дующего изучения таких математических дисциплин как
дифференциальные уравнения, уравнения математической
физики, методы вычислений, функциональный анализ, ме-
тоды оптимизации. Аппарат математического анализа яв-
ляется необходимым инструментом для построения и ис-
следования математический моделей, с помощью которых
изучаются самые разнообразные процессы и явления окру-
жающего нас мира.
2. Элементы теории множеств.
Понятие множества является одним из основных по-
нятий в математике, это первичное понятие, и его нельзя
определить через другие, более простые понятия.
Множество - это совокупность объектов произволь-
ной природы. Можно говорить о множестве граней много-
гранника, множестве натуральных чисел, множестве точек
на прямой и т.д. Объекты, входящие в данное множество,
называются элементами множества.
Будем обозначать множества буквами А, В, ..., Х, У,
..., а их элементы буквами а, b, ..., х, у, ....Тот факт, что эле-
мент а входит в множество А, записывается так: а А или А
а. Запись а А означает, что элемент а не принадлежит
А. Если все элементы, из которых состоит множество А,
входят и в множество В, то А называется подмножеством
множества В. В этом случае будем писать: А В или В А.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым и обозначается символом . Любое множество со-
держит в качестве подмножества.
Для обозначения множеств часто используются фи-
гурные скобки, внутри которых тем или иным способом
описываются элементы, из которых эти множества состоят.
Например, N = {1, 2, 3, ...}- множество всех натуральных
чисел, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} - множество всех целых чи-
сел, А = {х: 5х-2 < 0} - множество, состоящее из всех чисел,
удовлетворяющих неравенству 5х-2 < 0.
Два множества А и В называются равными (обозна-
чение: А=В), если А В и В А.
Пусть А и В - произвольные множества. Суммой, или
объединением, множеств А и В называется множество С,
состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы од-
ному из этих множеств; при этом пишут: С = А В (или С =
А + В). Ясно, что А А = А; и вообще, если В А, то А В
= А, в частности, А = А. Операция объединения
коммутативна: А В = В А. Операцию объединения мож-
но распространить на любое число множеств. Если А, В, С -
три произвольных множества, то (А В) С есть множест-
во элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы од-
ному из множеств А, В и С. Из этого определения следует,
что (А В) С = А (В С), т.е. что операция объедине-