ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Введение
1. Предмет и задачи математического анализа.
Среди всех наук математика занимает особое место,
так как ее аппарат используется во всех областях человече-
ской деятельности. Она может быть определена, например,
как наука о пространственных формах и количественных
отношениях реального мира.
Математический анализ - раздел математики, объек-
тами изучения которого являются функции, т.е. переменные
величины, зависящие от других переменных величин. На-
звание "математический анализ" представляет собой сокра-
щенное видоизменение старого названия "Анализ бесконеч-
но малых", так что одним из самых важных понятий в на-
шем курсе будет понятие предельного перехода и связанные
с ним понятия.
Математический анализ является основным среди
фундаментальных курсов, читаемых на специальности
"Прикладная математика". Он формирует базу для после-
дующего изучения таких математических дисциплин как
дифференциальные уравнения, уравнения математической
физики, методы вычислений, функциональный анализ, ме-
тоды оптимизации. Аппарат математического анализа яв-
ляется необходимым инструментом для построения и ис-
следования математический моделей, с помощью которых
изучаются самые разнообразные процессы и явления окру-
жающего нас мира.
2. Элементы теории множеств.
Понятие множества является одним из основных по-
нятий в математике, это первичное понятие, и его нельзя
определить через другие, более простые понятия.
Множество - это совокупность объектов произволь-
ной природы. Можно говорить о множестве граней много-
гранника, множестве натуральных чисел, множестве точек
на прямой и т.д. Объекты, входящие в данное множество,
называются элементами множества.
Будем обозначать множества буквами А, В, ..., Х, У,
..., а их элементы буквами а, b, ..., х, у, ....Тот факт, что эле-
мент а входит в множество А, записывается так: а ∈ А или А
∋ а. Запись а ∉ А означает, что элемент а не принадлежит
А. Если все элементы, из которых состоит множество А,
входят и в множество В, то А называется подмножеством
множества В. В этом случае будем писать: А ⊂ В или В ⊃ А.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым и обозначается символом ∅. Любое множество со-
держит ∅ в качестве подмножества.
Для обозначения множеств часто используются фи-
гурные скобки, внутри которых тем или иным способом
описываются элементы, из которых эти множества состоят.
Например, N = {1, 2, 3, ...}- множество всех натуральных
чисел, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} - множество всех целых чи-
сел, А = {х: 5х-2 < 0} - множество, состоящее из всех чисел,
удовлетворяющих неравенству 5х-2 < 0.
Два множества А и В называются равными (обозна-
чение: А=В), если А ⊂ В и В ⊂ А.
Пусть А и В - произвольные множества. Суммой, или
объединением, множеств А и В называется множество С,
состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы од-
ному из этих множеств; при этом пишут: С = А ∪ В (или С =
А + В). Ясно, что А ∪ А = А; и вообще, если В ⊂ А, то А ∪ В
= А, в частности, А ∪ ∅ = А. Операция объединения
коммутативна: А ∪ В = В ∪ А. Операцию объединения мож-
но распространить на любое число множеств. Если А, В, С -
три произвольных множества, то (А ∪ В) ∪ С есть множест-
во элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы од-
ному из множеств А, В и С. Из этого определения следует,
что (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С), т.е. что операция объедине-
Введение на прямой и т.д. Объекты, входящие в данное множество,
1. Предмет и задачи математического анализа. называются элементами множества.
Среди всех наук математика занимает особое место, Будем обозначать множества буквами А, В, ..., Х, У,
так как ее аппарат используется во всех областях человече- ..., а их элементы буквами а, b, ..., х, у, ....Тот факт, что эле-
ской деятельности. Она может быть определена, например, мент а входит в множество А, записывается так: а ∈ А или А
как наука о пространственных формах и количественных ∋ а. Запись а ∉ А означает, что элемент а не принадлежит
отношениях реального мира. А. Если все элементы, из которых состоит множество А,
Математический анализ - раздел математики, объек- входят и в множество В, то А называется подмножеством
тами изучения которого являются функции, т.е. переменные множества В. В этом случае будем писать: А ⊂ В или В ⊃ А.
величины, зависящие от других переменных величин. На- Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
звание "математический анализ" представляет собой сокра- пустым и обозначается символом ∅. Любое множество со-
щенное видоизменение старого названия "Анализ бесконеч- держит ∅ в качестве подмножества.
но малых", так что одним из самых важных понятий в на- Для обозначения множеств часто используются фи-
шем курсе будет понятие предельного перехода и связанные гурные скобки, внутри которых тем или иным способом
с ним понятия. описываются элементы, из которых эти множества состоят.
Математический анализ является основным среди Например, N = {1, 2, 3, ...}- множество всех натуральных
фундаментальных курсов, читаемых на специальности чисел, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} - множество всех целых чи-
"Прикладная математика". Он формирует базу для после- сел, А = {х: 5х-2 < 0} - множество, состоящее из всех чисел,
дующего изучения таких математических дисциплин как удовлетворяющих неравенству 5х-2 < 0.
дифференциальные уравнения, уравнения математической Два множества А и В называются равными (обозна-
физики, методы вычислений, функциональный анализ, ме- чение: А=В), если А ⊂ В и В ⊂ А.
тоды оптимизации. Аппарат математического анализа яв- Пусть А и В - произвольные множества. Суммой, или
ляется необходимым инструментом для построения и ис- объединением, множеств А и В называется множество С,
следования математический моделей, с помощью которых состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы од-
изучаются самые разнообразные процессы и явления окру- ному из этих множеств; при этом пишут: С = А ∪ В (или С =
жающего нас мира.
А + В). Ясно, что А ∪ А = А; и вообще, если В ⊂ А, то А ∪ В
= А, в частности, А ∪ ∅ = А. Операция объединения
2. Элементы теории множеств. коммутативна: А ∪ В = В ∪ А. Операцию объединения мож-
Понятие множества является одним из основных по- но распространить на любое число множеств. Если А, В, С -
нятий в математике, это первичное понятие, и его нельзя
три произвольных множества, то (А ∪ В) ∪ С есть множест-
определить через другие, более простые понятия.
во элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы од-
Множество - это совокупность объектов произволь-
ному из множеств А, В и С. Из этого определения следует,
ной природы. Можно говорить о множестве граней много-
что (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С), т.е. что операция объедине-
гранника, множестве натуральных чисел, множестве точек
