Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 4 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

ния ассоциативна, поэтому вместо (А В) С пишут А В
С. Если дана совокупность множеств {А
i
} (i =1, 2, ..., n),
то их объединение UA
i
n
i
=1
состоит из элементов, принадле-
жащих хотя бы одному из множеств А
i
, при этом UA
i
n
i
=
1
не
зависит от порядка множеств А
i
.
Произведением, или пересечением, А В множеств
А и В называется множество, состоящее из всех элементов,
принадлежащих как А, так и В. Очевидно, что А А = А;
если В А, то А В = В. Если А и В не имеют ни одного
общего элемента, то говорят, что множества А и В не пресе-
каются или что их пересечение есть пустое множество: А
В = . Из определения пересечения следует, что А В = В
А, т.е. что операция пересечения коммутативна. Если А,
В, С - три произвольных множества, то (А В) С есть
множество элементов, принадлежащих множествам А В и
С, т.е. одновременно всем множествам А, В и С, поэтому
операция пересечения, ассоциативна: (А В) С = А (В
С) и вместо (АВ) С можно писать А В С. Для со-
вокупности {А
i
} (i = 1, 2, ..., n) множеств их пересечением
является множество элементов, принадлежащих сразу всем
множествам А
1
, А
2
, ..., А
n
, обозначается это пересечение че-
рез
=i
n
i
A
1
и не зависит от порядка множеств А
i
. Так как,
очевидно, для любого множества А А = , то если хотя
бы одно из множеств А
i
=, то ∩=
=
i
n
i
A
1
.
Операции объединения и пересечения связаны меж-
ду собой соотношениями дистрибутивности:
(АВ)С=(АС)(ВС) (1) и (АВ)С=(АС)(ВС)
(2). Докажем равенство (1) (равенство (2) доказывается ана-
логично). Пусть х (АВ)С, тогда х АВ и х С; так
как х АВ, то х А или х В; пусть, для определенности
х А, тогда х АС и х (АС)(ВС), значит, (АВ)С
(АС)(ВС). Пусть теперь х (АС)(ВС), тогда х
АС или х ВС, пусть, для определенности, х АС, то-
гда х АВ и х С, значит, х (АВ)С, следовательно,
(АС)(ВС) (АВ)С. Равенство (1) доказано.
Разностью А\В называется совокупность всех тех
элементов из А, которые не содержатся в В. Ясно, что А\А =
. Заметим, что в общем случае (А\В)В А. Но если ВА,
то (А\В) В = А.
3. Символика математической логики.
Для сокращения записи будем использовать некото-
рые логические символы. Будем обозначать буквами
α
,
β
,
γ
,
... какие-либо предложения, например,
{
}
{
}
αβ
===fx fx M() , ()0 и т.д.
Запись "
α
β
" означает: "из предложения
α
следует
предложение
β
", знаком "
α
β
" будем обозначать тот факт,
что предложения
α
и
β
эквивалентны, т.е. что из
α
следует
β
и из
β
следует
α
.
Запись "х А:
α
" означает "для всякого (любого)
элемента х А имеет место предложение
α
", символ -
квантор всеобщности; запись "у В:
β
" означает "сущест-
вует (найдется) элемент у В, для которого имеет место
предложение
β
", символ - квантор существования.
Символом
α
обозначается отрицание предложения
α
, т.е. выполнение предложения, противоположного
α
. Яс-
но, что ":"∀∈xA
α
⇔∃ ":xA
α
" и ":∃∈yB
β
"
⇔∀ yB:
β
, т.е. для того, чтобы построить отрицание дан-
ной логической формулы, содержащей символы и , надо