Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 4 стр.

ния ассоциативна, поэтому вместо (А ∪ В) ∪ С пишут А ∪ В       логично). Пусть х ∈ (А∪В)∩С, тогда х ∈ А∪В и х ∈ С; так
∪ С. Если дана совокупность множеств {Аi} (i =1, 2, ..., n),   как х ∈ А∪В, то х ∈ А или х ∈ В; пусть, для определенности
                     n                                         х ∈ А, тогда х ∈ А∩С и х ∈ (А∩С)∪(В∩С), значит, (А∪В)∩С
то их объединение U Ai состоит из элементов, принадле-         ⊂ (А∩С)∪(В∩С). Пусть теперь х ∈ (А∩С)∪(В∩С), тогда х ∈
                    i =1
                                                    n          А∩С или х ∈ В∩С, пусть, для определенности, х ∈ А∩С, то-
жащих хотя бы одному из множеств Аi, при этом U Ai не          гда х ∈ А∪В и х ∈ С, значит, х ∈ (А∪В)∩С, следовательно,
                                                   i =1
                                                               (А∩С)∪(В∩С)⊂ (А∪В)∩С. Равенство (1) доказано.
зависит от порядка множеств Аi.
                                                                      Разностью А\В называется совокупность всех тех
        Произведением, или пересечением, А ∩ В множеств
                                                               элементов из А, которые не содержатся в В. Ясно, что А\А =
А и В называется множество, состоящее из всех элементов,
                                                               ∅. Заметим, что в общем случае (А\В)∪В ≠ А. Но если В⊂А,
принадлежащих как А, так и В. Очевидно, что А ∩ А = А;
                                                               то (А\В) ∪В = А.
если В ⊂ А, то А ∩ В = В. Если А и В не имеют ни одного
общего элемента, то говорят, что множества А и В не пресе-
каются или что их пересечение есть пустое множество: А ∩
                                                                       3. Символика математической логики.
                                                                       Для сокращения записи будем использовать некото-
В = ∅. Из определения пересечения следует, что А ∩ В = В
                                                               рые логические символы. Будем обозначать буквами α,β,γ,
∩ А, т.е. что операция пересечения коммутативна. Если А,
                                                               ... какие-либо предложения, например,
В, С - три произвольных множества, то (А ∩ В) ∩ С есть
множество элементов, принадлежащих множествам А ∩ В и          α = { f ( x ) = 0} , β = { f ( x ) ≤ M } и т.д.
С, т.е. одновременно всем множествам А, В и С, поэтому                 Запись "α ⇒ β" означает: "из предложения α следует
операция пересечения, ассоциативна: (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В       предложение β", знаком "α ⇔β" будем обозначать тот факт,
∩ С) и вместо (А∩В) ∩ С можно писать А ∩ В ∩ С. Для со-        что предложения α и β эквивалентны, т.е. что из α следует
вокупности {Аi} (i = 1, 2, ..., n) множеств их пересечением    β и из β следует α.
является множество элементов, принадлежащих сразу всем                 Запись "∀х ∈ А: α" означает "для всякого (любого)
множествам А1, А2, ..., Аn, обозначается это пересечение че-   элемента х ∈ А имеет место предложение α", символ ∀-
       n                                                       квантор всеобщности; запись "∃у ∈ В: β" означает "сущест-
рез   ∩ Ai и не зависит от порядка множеств Аi. Так как,
      i =1                                                     вует (найдется) элемент у ∈ В, для которого имеет место
очевидно, для любого множества А А ∩ ∅ = ∅, то если хотя       предложение β", символ ∃- квантор существования.
                                n                                      Символом α обозначается отрицание предложения
бы одно из множеств Аi =∅, то ∩ Ai = ∅ .                       α, т.е. выполнение предложения, противоположного α. Яс-
                               i =1
       Операции объединения и пересечения связаны меж-         но, что " ∀x ∈ A:α "                 ⇔" ∃x ∈ A:α " и " ∃y ∈ B: β "
ду собой соотношениями дистрибутивности:                       ⇔ ∀y ∈ B: β , т.е. для того, чтобы построить отрицание дан-
 (А∪В)∩С=(А∩С)∪(В∩С) (1) и (А∩В)∪С=(А∪С)∩(В∪С)                 ной логической формулы, содержащей символы ∀ и ∃, надо
(2). Докажем равенство (1) (равенство (2) доказывается ана-