Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 6 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

ложить ca
b
=
1
, так как
cb a
b
ba
b
ba ac
a
b
⋅=
=⋅
=⋅= =
11
1;
.
III.5.
()abcacbc
+
=+
III.6. Если abc то ac bc
>> > и 0, .
IV. Аксиома Архимеда.
Каково бы ни было рациональное число c > 0, суще-
ствует натуральное число n такое, что n > c.
1.2. Иррациональные числа
Для практических вычислений рациональных чисел
вполне достаточно. Однако числа нужны еще для измерения
геометрических и физических величин. Для этих целей ра-
циональных чисел уже недостаточно. Так, например, длина
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами еди-
ничной длины равна
2
, легко показать, что число
2
нельзя представить в виде дроби
p
q
, где p, q - целые числа,
т.е.
2 - иррациональное число. Существуют различные
способы введения иррациональных чисел. Наиболее рас-
пространенным является способ, основанный на понятии
сечения во множестве рациональных чисел, который был
предложен в конце 19-го века немецким математиком Р.
Дедекиндом.
Разбиение множества всех рациональных чисел на 2
непустых множества А и А
/
называется сечением, если:
1)
каждое рациональное число попадает в одно и
только одно из множеств А или А
/
,
2)
<
aAи aAaa .
Множества А и А
/
называются при этом нижним и
верхним классами соответственно, будем обозначать сече-
ния символом AA
/
. Ясно, что для любого рационального
х, меньшего
a
A
x
A
, , и для любого рационального х,
большего
aAxA , .
Примеры сечений.
1. Положим
{
}
{
}
1:,1:
=
<
=
aQaAaQaA .
Ясно, что AA
/
является сечением, причем в А
/
число 1 яв-
ляется наименьшим элементом, а в А нет наибольшего эле-
мента, так как какое бы а
А ни взять, в силу аксиомы I.3,
найдется рациональное число, лежащее между а и 1.
2. Если взять сечение AA
/
такое, что
{
}
{
}
1:,1: >
=
=
aQaAaQaA
, то у него в А
/
нет
наименьшего, а в А число 1 является наибольшим элемен-
том.
3. Рассмотрим теперь сечение
A
A
/
, у которого в А
входят все отрицательные рациональные числа, число нуль
и все положительные рациональные числа а, для которых
{
}
aAaQa a
22
202<
=
>
>,: и . У построенного таким
образом сечения в А нет наибольшего элемента, а в А
/
-
наименьшего. Докажем, например, что в А нет наибольшего
числа. Пусть а - любое положительное число из А, тогда
a
2
< 2. Легко подобрать n такое, что a
n
+
<
1
2
2
, для чего
достаточно взять n
a
a
>
+
21
2
2
(такое n существует, в силу ак-
сиомы Архимеда). В самом деле, при любом таком n будет
выполняться неравенство
2
212 1
2
2
−>+>+a
a
nn
a
n
n
, откуда
a
a
n
n
a
n
2
2
2
21 1
2++=+
< , а это означает, что а не являет-
ся наибольшим элементом. Аналогично можно показать,
что в А
/
нет наименьшего числа.