ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ложить ca
b
=
1
, так как
cb a
b
ba
b
ba ac
a
b
⋅= ⋅
=⋅
=⋅= =
11
1;
.
III.5.
()abcacbc
+
=+
III.6. Если abc то ac bc
>> > и 0, .
IV. Аксиома Архимеда.
Каково бы ни было рациональное число c > 0, суще-
ствует натуральное число n такое, что n > c.
1.2. Иррациональные числа
Для практических вычислений рациональных чисел
вполне достаточно. Однако числа нужны еще для измерения
геометрических и физических величин. Для этих целей ра-
циональных чисел уже недостаточно. Так, например, длина
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами еди-
ничной длины равна
2
, легко показать, что число
2
нельзя представить в виде дроби
p
q
, где p, q - целые числа,
т.е.
2 - иррациональное число. Существуют различные
способы введения иррациональных чисел. Наиболее рас-
пространенным является способ, основанный на понятии
сечения во множестве рациональных чисел, который был
предложен в конце 19-го века немецким математиком Р.
Дедекиндом.
Разбиение множества всех рациональных чисел на 2
непустых множества А и А
/
называется сечением, если:
1)
каждое рациональное число попадает в одно и
только одно из множеств А или А
/
,
2)
∀
∈
∀
′
∈
′
<
′
aAи aAaa .
Множества А и А
/
называются при этом нижним и
верхним классами соответственно, будем обозначать сече-
ния символом AA
/
′
. Ясно, что для любого рационального
х, меньшего
a
A
x
A
∈
∈
, , и для любого рационального х,
большего
′
∈
′
∈
′
aAxA , .
Примеры сечений.
1. Положим
{
}
{
}
1:,1: ≥
′
∈
′
=
′
<
∈
=
aQaAaQaA .
Ясно, что AA
/
′
является сечением, причем в А
/
число 1 яв-
ляется наименьшим элементом, а в А нет наибольшего эле-
мента, так как какое бы а
∈ А ни взять, в силу аксиомы I.3,
найдется рациональное число, лежащее между а и 1.
2. Если взять сечение AA
/
′
такое, что
{
}
{
}
1:,1: >
′
∈
′
=
′
≤
∈
=
aQaAaQaA
, то у него в А
/
нет
наименьшего, а в А число 1 является наибольшим элемен-
том.
3. Рассмотрим теперь сечение
A
A
/
′
, у которого в А
входят все отрицательные рациональные числа, число нуль
и все положительные рациональные числа а, для которых
{
}
aAaQa a
22
202<
′
=
′
∈
′
>
′
>,: и . У построенного таким
образом сечения в А нет наибольшего элемента, а в А
/
-
наименьшего. Докажем, например, что в А нет наибольшего
числа. Пусть а - любое положительное число из А, тогда
a
2
< 2. Легко подобрать n такое, что a
n
+
<
1
2
2
, для чего
достаточно взять n
a
a
>
+
−
21
2
2
(такое n существует, в силу ак-
сиомы Архимеда). В самом деле, при любом таком n будет
выполняться неравенство
2
212 1
2
2
−>+>+a
a
nn
a
n
n
, откуда
a
a
n
n
a
n
2
2
2
21 1
2++=+
< , а это означает, что а не являет-
ся наибольшим элементом. Аналогично можно показать,
что в А
/
нет наименьшего числа.
1 ния символом A / A′ . Ясно, что для любого рационального ложить c = a , так как х, меньшего a ∈ A , x ∈ A , и для любого рационального х, b 1 1 a большего a ′ ∈ A′ , x ∈ A′. c ⋅ b = a ⋅ b = a ⋅ b = a ⋅ 1 = a; c = . Примеры сечений. b b b 1. Положим A = {a ∈ Q : a < 1}, A′ = {a′ ∈ Q : a′ ≥ 1} . III.5. (a + b)c = ac + bc Ясно, что A / A′ является сечением, причем в А/ число 1 яв- III.6. Если a > b и c > 0, то ac > bc . ляется наименьшим элементом, а в А нет наибольшего эле- IV. Аксиома Архимеда. мента, так как какое бы а ∈ А ни взять, в силу аксиомы I.3, Каково бы ни было рациональное число c > 0, суще- найдется рациональное число, лежащее между а и 1. ствует натуральное число n такое, что n > c. 2. Если взять сечение A / A′ такое, что A = {a ∈ Q : a ≤ 1}, A′ = {a′ ∈ Q : a′ > 1} , то у него в А/ нет 1.2. Иррациональные числа Для практических вычислений рациональных чисел наименьшего, а в А число 1 является наибольшим элемен- вполне достаточно. Однако числа нужны еще для измерения том. геометрических и физических величин. Для этих целей ра- 3. Рассмотрим теперь сечение A / A′ , у которого в А циональных чисел уже недостаточно. Так, например, длина входят все отрицательные рациональные числа, число нуль гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами еди- и все положительные рациональные числа а, для которых ничной длины равна 2 , легко показать, что число 2 { } a 2 < 2, A′ = a ′ ∈ Q: a ′ > 0 и a ′ 2 > 2 . У построенного таким p образом сечения в А нет наибольшего элемента, а в А/ - нельзя представить в виде дроби , где p, q - целые числа, q наименьшего. Докажем, например, что в А нет наибольшего числа. Пусть а - любое положительное число из А, тогда т.е. 2 - иррациональное число. Существуют различные способы введения иррациональных чисел. Наиболее рас- 1 2 a2 < 2. Легко подобрать n такое, что a + < 2 , для чего пространенным является способ, основанный на понятии n сечения во множестве рациональных чисел, который был 2a + 1 предложен в конце 19-го века немецким математиком Р. достаточно взять n > (такое n существует, в силу ак- 2 − a2 Дедекиндом. сиомы Архимеда). В самом деле, при любом таком n будет Разбиение множества всех рациональных чисел на 2 2a 1 2a 1 непустых множества А и А/ называется сечением, если: выполняться неравенство 2 − a 2 > + > + , откуда 1) каждое рациональное число попадает в одно и n n n n2 только одно из множеств А или А/, 2a 1 1 2 2) ∀a ∈ A и ∀a ′ ∈ A′ a < a ′. a2 + + 2 = a + < 2 , а это означает, что а не являет- n n n Множества А и А/ называются при этом нижним и верхним классами соответственно, будем обозначать сече- ся наибольшим элементом. Аналогично можно показать, что в А/ нет наименьшего числа.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »