Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 6 стр.

                  1                                          ния символом A / A′ . Ясно, что для любого рационального
ложить c = a , так как                                       х, меньшего a ∈ A , x ∈ A , и для любого рационального х,
                  b
         1          1                    a               большего a ′ ∈ A′ , x ∈ A′.
c ⋅ b =  a ⋅  b = a  ⋅ b = a ⋅ 1 = a; c = .                      Примеры сечений.
         b          b                    b
                                                                     1. Положим          A = {a ∈ Q : a < 1}, A′ = {a′ ∈ Q : a′ ≥ 1} .
          III.5. (a + b)c = ac + bc
                                                             Ясно, что A / A′ является сечением, причем в А/ число 1 яв-
          III.6. Если a > b и c > 0, то ac > bc .
                                                             ляется наименьшим элементом, а в А нет наибольшего эле-
          IV. Аксиома Архимеда.
                                                             мента, так как какое бы а ∈ А ни взять, в силу аксиомы I.3,
         Каково бы ни было рациональное число c > 0, суще-
                                                             найдется рациональное число, лежащее между а и 1.
ствует натуральное число n такое, что n > c.
                                                                     2. Если взять сечение                  A / A′ такое, что
                                                              A = {a ∈ Q : a ≤ 1}, A′ = {a′ ∈ Q : a′ > 1} , то у него в А/ нет
             1.2. Иррациональные числа
       Для практических вычислений рациональных чисел        наименьшего, а в А число 1 является наибольшим элемен-
вполне достаточно. Однако числа нужны еще для измерения      том.
геометрических и физических величин. Для этих целей ра-              3. Рассмотрим теперь сечение A / A′ , у которого в А
циональных чисел уже недостаточно. Так, например, длина      входят все отрицательные рациональные числа, число нуль
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами еди-       и все положительные рациональные числа а, для которых
ничной длины равна 2 , легко показать, что число 2                         {                           }
                                                             a 2 < 2, A′ = a ′ ∈ Q: a ′ > 0 и a ′ 2 > 2 . У построенного таким
                                p                            образом сечения в А нет наибольшего элемента, а в А/ -
нельзя представить в виде дроби , где p, q - целые числа,
                                q                            наименьшего. Докажем, например, что в А нет наибольшего
                                                             числа. Пусть а - любое положительное число из А, тогда
т.е. 2 - иррациональное число. Существуют различные
способы введения иррациональных чисел. Наиболее рас-                                                  1 2
                                                             a2 < 2. Легко подобрать n такое, что  a +  < 2 , для чего
пространенным является способ, основанный на понятии                                                  n
сечения во множестве рациональных чисел, который был                              2a + 1
предложен в конце 19-го века немецким математиком Р.         достаточно взять n >        (такое n существует, в силу ак-
                                                                                  2 − a2
Дедекиндом.
                                                             сиомы Архимеда). В самом деле, при любом таком n будет
      Разбиение множества всех рациональных чисел на 2
                                                                                                2a 1 2a 1
непустых множества А и А/ называется сечением, если:         выполняться неравенство 2 − a 2 >     + >      +   , откуда
      1) каждое рациональное число попадает в одно и                                             n n n n2
         только одно из множеств А или А/,                        2a 1          1 2
      2) ∀a ∈ A и ∀a ′ ∈ A′ a < a ′.                         a2 +     + 2 =  a +  < 2 , а это означает, что а не являет-
                                                                   n n          n
      Множества А и А/ называются при этом нижним и
верхним классами соответственно, будем обозначать сече-      ся наибольшим элементом. Аналогично можно показать,
                                                             что в А/ нет наименьшего числа.