Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 7 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Достаточно очевидно, что не существует сечений, у
которых в нижнем классе имеется наибольшее число и од-
новременно в верхнем - наименьшее. Таким образом, сече-
ния могут быть трех видов:
1)
в А нет наибольшего числа, а в А
/
есть наимень-
шее;
2)
в А есть наибольшее число, в А
/
нет наименьшего;
3)
в А нет наибольшего числа и в А
/
нет наименьше-
го.
В первых двух случаях говорят, что сечение произ-
водится рациональным числом r (которое является погра-
ничным между классами А и А
/
), или что сечение определя-
ет рациональное число r (в примерах 1, 2 r = 1). В третьем
случае пограничного числа не существует; будем говорить,
что сечение 3-го вида определяет некоторое иррациональ-
ное число
α
, которое как бы вставляется между всеми чис-
лами aA
и
aA (в примере 3
α
= 2
).
Для однообразия удобно и рациональные числа оп-
ределять как сечения. Ясно, что для каждого рационального
числа r существуют два определяющих его сечения. Впредь,
говоря о сечении, определяющем рациональное число r, ус-
ловимся включать r в верхний класс.
Можно показать, что иррациональные числа пред-
ставляются в виде бесконечных десятичных непериодиче-
ских дробей. Множество всех рациональных и иррацио-
нальных чисел образуют множество действительных (или
вещественных) чисел и обозначается R.
1.3. Упорядочение множества действительных
чисел и его непрерывность
Два иррациональных числа
α
и
β
, определяемых се-
чениями А/А
/
и В/В
/
соответственно, считаются равными в
том и только в том случае, если эти сечения тождественны,
т.е. если А = В и А
/
= В
/
. Это определение сохраняет свою
силу и в случае, если
α
и
β
- рациональные числа.
Будем считать, что
α
>
β
, если А В, причем А В
(или, что то же самое, если А
/
В
/
, причем если А
/
В
/
).
Рассматривая сечения в области рациональных чи-
сел, мы видим, что в случае сечения 3-го вида в ней не су-
ществует пограничного числа. Именно эта неполнота облас-
ти рациональных чисел, наличие в ней "пробелов" обусло-
вили введение иррациональных чисел. Рассмотрим теперь
сечения в области действительных чисел. Под таким сече-
нием будем понимать такое разбиение этой области на два
непустых множества А и А
/
, что:
1)
каждое действительное число попадает в одно и
только одно из множеств А и А
/
;
2)
<
α
α
α
α
AA и .
Оказывается, для любого такого сечения среди дей-
ствительных чисел всегда найдется пограничное число,
производящее это сечение, а именно, имеет место
основная
теорема Дедекинда:
Для всякого сечения А/А
/
в области действительных
чисел существует действительное число
α
, которое произ-
водит это сечение. Это число
α
будет либо наибольшим в
нижнем классе А либо наименьшим в верхнем классе А
/
.
Это свойство области действительных чисел назы-
вают ее полнотой или непрерывностью.
1.4. Границы числовых множеств
Рассмотрим некоторое бесконечное множество дей-
ствительных чисел. Любое из чисел множества обозначим
через х, а все множество через Х = {x}. Если существует
число
M
x
M
x
X
:
, то будем говорить, что множество
Х ограничено сверху, а число М - верхняя граница множест-
ва Х. Аналогично, если существует m:
x
m
x
X
, то Х
называется ограниченным снизу множеством, а число m -