Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 7 стр.

       Достаточно очевидно, что не существует сечений, у     т.е. если А = В и А/ = В/. Это определение сохраняет свою
которых в нижнем классе имеется наибольшее число и од-       силу и в случае, если α и β - рациональные числа.
новременно в верхнем - наименьшее. Таким образом, сече-              Будем считать, что α > β, если А ⊃ В, причем А ≠ В
ния могут быть трех видов:                                   (или, что то же самое, если А/ ⊂ В/, причем если А/ ≠ В/).
       1) в А нет наибольшего числа, а в А/ есть наимень-            Рассматривая сечения в области рациональных чи-
          шее;                                               сел, мы видим, что в случае сечения 3-го вида в ней не су-
       2) в А есть наибольшее число, в А/ нет наименьшего;   ществует пограничного числа. Именно эта неполнота облас-
       3) в А нет наибольшего числа и в А/ нет наименьше-    ти рациональных чисел, наличие в ней "пробелов" обусло-
          го.                                                вили введение иррациональных чисел. Рассмотрим теперь
       В первых двух случаях говорят, что сечение произ-     сечения в области действительных чисел. Под таким сече-
водится рациональным числом r (которое является погра-       нием будем понимать такое разбиение этой области на два
ничным между классами А и А/), или что сечение определя-     непустых множества А и А/, что:
ет рациональное число r (в примерах 1, 2 r = 1). В третьем           1) каждое действительное число попадает в одно и
случае пограничного числа не существует; будем говорить,                только одно из множеств А и А/;
что сечение 3-го вида определяет некоторое иррациональ-              2) ∀α ∈ A и ∀α ′ ∈ A′ α < α ′ .
ное число α, которое как бы вставляется между всеми чис-             Оказывается, для любого такого сечения среди дей-
лами a ∈ A и a ′ ∈ A′ (в примере 3 α = 2 ).                  ствительных чисел всегда найдется пограничное число,
       Для однообразия удобно и рациональные числа оп-       производящее это сечение, а именно, имеет место основная
ределять как сечения. Ясно, что для каждого рационального    теорема Дедекинда:
числа r существуют два определяющих его сечения. Впредь,             Для всякого сечения А/А/ в области действительных
говоря о сечении, определяющем рациональное число r, ус-     чисел существует действительное число α, которое произ-
ловимся включать r в верхний класс.                          водит это сечение. Это число α будет либо наибольшим в
       Можно показать, что иррациональные числа пред-        нижнем классе А либо наименьшим в верхнем классе А/.
ставляются в виде бесконечных десятичных непериодиче-                Это свойство области действительных чисел назы-
ских дробей. Множество всех рациональных и иррацио-          вают ее полнотой или непрерывностью.
нальных чисел образуют множество действительных (или
вещественных) чисел и обозначается R.                                  1.4. Границы числовых множеств
                                                                    Рассмотрим некоторое бесконечное множество дей-
   1.3. Упорядочение множества действительных                ствительных чисел. Любое из чисел множества обозначим
            чисел и его непрерывность                        через х, а все множество через Х = {x}. Если существует
       Два иррациональных числа α и β, определяемых се-      число M : x ≤ M ∀ x ∈ X , то будем говорить, что множество
чениями А/А/ и В/В/ соответственно, считаются равными в      Х ограничено сверху, а число М - верхняя граница множест-
том и только в том случае, если эти сечения тождественны,    ва Х. Аналогично, если существует m: x ≥ m ∀x ∈ X , то Х
                                                             называется ограниченным снизу множеством, а число m -