Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 8 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

нижней границей. Ограниченные и сверху и снизу множе-
ства называются ограниченными. В то же время существу-
ют неограниченные либо сверху, либо и сверху и снизу
множества. Если множество неограниченно сверху, то за
его верхнюю границу принимается "несобственное" число
"+
", а за нижнюю границу неограниченного снизу множе-
ства принимают "-
", при этом считается, что -
< +
и для
любого конечного действительного
α
-
<
α
< +
.
Если Х ограничено сверху (снизу), то оно имеет бес-
конечное множество верхних (нижних) границ. Наимень-
шая из всех верхних границ называется точной верхней
границей (или верхней гранью) и обозначается
Xx
xXM
== supsup
. Аналогично наибольшая из всех ниж-
них границ называется точной нижней границей (или ниж-
ней гранью) и обозначается
Xx
xXm
== infinf . Из опреде-
ления следует, что если
Mm
()- верхняя (нижняя) грань
множества Х, то: 1)
∀∈
xXxMxm (); 2) для любого
сколь угодно малого
ε
> 0 найдется
x
X
такое, что
>−
<+
∗∗
xM xm
εε
()
. Верно и обратное: если
Mm
∗∗
()удовлетворяет условиям 1 и 2, то Mm
()- верхняя
(нижняя) грань. Условимся считать, что если Х не ограни-
чено сверху (снизу), то sup
X
=
+
(inf )X
=
.
Рассмотрим вопрос о существовании sup и inf для
произвольного множества. Для неограниченного множества
этот вопрос решен выше. Если множество ограничено свер-
ху (снизу), то оно имеет бесконечное множество верхних
(нижних) границ. Но среди бесконечного множества чисел
не всегда найдется наибольшее или наименьшее. Например,
среди всех правильных дробей нет ни наибольшей, ни наи-
меньшей. Тем не менее имеет место
теорема:
Если множество
Х = {x} ограничено сверху (снизу),
то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) границу.
Доказательство проведем для верхней грани. Рас-
смотрим два случая.
1. Среди чисел
х множества Х есть наибольшее
x
.
Тогда
х Х х
x
, т.е.
x
является верхней границей мно-
жества
Х. Но так как
x
Х, то для любой верхней границы
М
x
М, значит,
x
= sup x.
2. Среди чисел
х множества Х нет наибольшего.
Произведем сечение в области всех действительных чисел,
включив в верхний класс
А
/
все верхние границы
α
/
множе-
ства
Х, а в нижний класс А все остальные действительные
числа
α
. Ясно, что Х А, так что оба класса непусты. Это
разбиение действительно является сечением, так как все
действительные числа входят в один из классов и каждое
число из
А
/
больше любого числа из А. Тогда, по теореме
Дедекинда, существует действительное число
β
, произво-
дящее это сечение, при этом
х Х А х
β
и
β
является
наименьшим в классе
А
/
, т.е.
β
= sup x. Точно так же дока-
зывается существование нижней грани у ограниченного
снизу множества.
Из доказательства теоремы вытекает, в частности,
что как верхняя, так и нижняя грань могут принадлежать
или не принадлежать множеству.
Примеры.
1) Xx
n
nN==
1
,- ограниченное множество. Яс-
но, что sup ,
X
X
=
1 inf XX
=
0 .
2)
}
XxRx
=
:0. Это множество ограничено сни-
зу, причем inf
x = 0, и неограниченно сверху, так что sup x =
+
.