Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 8 стр.

нижней границей. Ограниченные и сверху и снизу множе-                    Если множество Х = {x} ограничено сверху (снизу),
ства называются ограниченными. В то же время существу-            то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) границу.
ют неограниченные либо сверху, либо и сверху и снизу                     Доказательство проведем для верхней грани. Рас-
множества. Если множество неограниченно сверху, то за             смотрим два случая.
его верхнюю границу принимается "несобственное" число                    1. Среди чисел х множества Х есть наибольшее x .
"+∞", а за нижнюю границу неограниченного снизу множе-            Тогда ∀х ∈ Х х ≤ x , т.е. x является верхней границей мно-
ства принимают "-∞", при этом считается, что -∞ < +∞ и для
                                                                  жества Х. Но так как x ∈ Х, то для любой верхней границы
любого конечного действительного α -∞ < α < +∞.
       Если Х ограничено сверху (снизу), то оно имеет бес-        М x ≤ М, значит, x = sup x.
конечное множество верхних (нижних) границ. Наимень-                     2. Среди чисел х множества Х нет наибольшего.
шая из всех верхних границ называется точной верхней              Произведем сечение в области всех действительных чисел,
границей (или верхней гранью) и обозначается                      включив в верхний класс А/ все верхние границы α/ множе-
                                                                  ства Х, а в нижний класс А все остальные действительные
M ∗ = sup X = sup x . Аналогично наибольшая из всех ниж-
               x∈ X
                                                                  числа α. Ясно, что Х ⊂ А, так что оба класса непусты. Это
них границ называется точной нижней границей (или ниж-            разбиение действительно является сечением, так как все
                                                                  действительные числа входят в один из классов и каждое
ней гранью) и обозначается m∗ = inf X = inf x . Из опреде-        число из А/ больше любого числа из А. Тогда, по теореме
                                             x∈ X
                             ∗   ∗                                Дедекинда, существует действительное число β, произво-
ления следует, что если M (m ) - верхняя (нижняя) грань
                                                                  дящее это сечение, при этом ∀х ∈ Х ⊂ А х ≤ β и β является
множества Х, то: 1) ∀x ∈ X x ≤ M ∗ ( x ≥ m∗ ) ; 2) для любого     наименьшим в классе А/, т.е. β = sup x. Точно так же дока-
сколь угодно малого ε > 0 найдется x ′ ∈ X такое, что             зывается существование нижней грани у ограниченного
x ′ > M ∗ − ε ( x ′ < m∗ + ε ) . Верно и обратное: если           снизу множества.
                                                                         Из доказательства теоремы вытекает, в частности,
 M ∗ (m∗ ) удовлетворяет условиям 1 и 2, то M ∗ (m∗ ) - верхняя   что как верхняя, так и нижняя грань могут принадлежать
(нижняя) грань. Условимся считать, что если Х не ограни-          или не принадлежать множеству.
чено сверху (снизу), то sup X = +∞ (inf X = −∞) .
       Рассмотрим вопрос о существовании sup и inf для                   Примеры.
произвольного множества. Для неограниченного множества                               1          
этот вопрос решен выше. Если множество ограничено свер-                  1) X =  x = , n ∈ N  - ограниченное множество. Яс-
                                                                                     n          
ху (снизу), то оно имеет бесконечное множество верхних            но, что sup X = 1 ∈ X , inf X = 0 ∉ X .
(нижних) границ. Но среди бесконечного множества чисел
                                                                         2) X = { x ∈ R: x ≥ 0} . Это множество ограничено сни-
не всегда найдется наибольшее или наименьшее. Например,
среди всех правильных дробей нет ни наибольшей, ни наи-           зу, причем inf x = 0, и неограниченно сверху, так что sup x =
меньшей. Тем не менее имеет место теорема:                        +∞ .